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复分析Complex analysis一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。皮卡德定理描述了全形函数在基本奇点附近的显著行为。只有极点而没有基本奇点的函数被称为经态函数。劳伦特级数是与泰勒级数相当的复值级数，但可以通过更容易理解的函数（如多项式）的无限和来研究奇点附近的函数行为。
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复分析代考_Complex analysis代考_Traditional Definitions of Harmonic Functions
Some complex analysis books define harmonic functions to be twice continuously differentiable functions that satisfy the Laplace equation. With this definition, one can use Green’s identities on an annulus (which we pointed out in section 1 to be quite elementary) to show that such harmonic functions satisfy the averaging property. Hence, this class of functions could be seen to be the same as harmonic-ave functions. We won’t pursue this idea here because we can easily prove something stronger with less effort.
It is most gratifying to define harmonic functions to be merely continuous functions $u$ whose first partial derivatives exist and whose second partial derivatives $\partial^2 u / \partial x^2$ and $\partial^2 u / \partial y^2$ exist and satisfy the Laplace equation. Call such functions harmonic-pde. We will now adapt a classic argument to show that the class of harmonic-pde functions agrees with our class of continuous functions that satisfy the averaging property on an open set. Indeed, if $u$ is a harmonic-pde function defined on an open set containing the closed unit disc, then $u$ minus the harmonic-ave function $U$ that we constructed solving the Dirichlet problem on the unit disc with the same boundary values as $u$ on the unit circle, if not the zero function, would have either a positive maximum or a negative minimum. Suppose it has a positive maximum $M>0$ at a point $z_0$ in $D_1(0)$. Choose $\epsilon$ with $0<\epsilon<M$. Now
$$
v(z):=u(z)-U(z)+\epsilon|z|^2
$$
is equal to $\epsilon$ on the unit circle and attains a positive value at $z_0$ that is larger than $\epsilon$. Hence, $v$ attains a positive maximum at some point $w_0$ in $D_1(0)$. The Laplacian of $v$ at $w_0$ is equal to $4 \epsilon$, which is strictly positive. However, the one variable second derivative test from freshman calculus applied to $v$ in the $x$-direction yields that $\partial^2 v / \partial x^2$ must be less than or equal to zero. (If it were positive, $v$ could not have a local maximum at $w_0$.) Similarly, the second derivative test in the $y$-direction yields that $\partial^2 v / \partial y^2$ must be less than or equal to zero. We conclude that the Laplacian of $v$ at $w_0$ must be less than or equal to zero, which is a contradiction because the Laplacian is strictly positive on $D_1(0)$. This shows that $u-U$ cannot have a positive value. If we replace $u-U$ by $U-u$, the same reasoning shows that $U-u$ cannot have a positive value. Hence $U-u \equiv 0$ on the unit disc, and we have shown that $u$, like $U$, is harmonic in the sense of being averaging. Finally, because the operations of translating and scaling preserve harmonic functions in both senses of the word, we can translate and scale any disc to the unit disc to be able to deduce the equivalence of the two definitions of harmonic on any open set. We now stop hyphenating harmonic and turn to hyphenating analytic.
复分析代考_Complex analysis代考_ Analytic Functions
When the $200+$ year old Poisson and Dirichlet took a break from harmonic functions, they might have turned their attention to similar considerations applied to analytic functions, which satisfy both the averaging property on discs and Cauchy’s theorem for circles.
In order to understand the rest of this section, the reader will need to know (or look up) the definition of the complex contour integral $\int_\gamma f d z$ along a curve $\gamma$, the basic estimate
$$
\left|\int_\gamma f d z\right| \leq \sup {|f(z)|: z \in \gamma} \cdot \text { Length }(\gamma),
$$
and the fundamental theorem of calculus $\int_\gamma f^{\prime} d z=f(b)-f(a)$ for complex contour integrals, assuming that $f$ is continuously complex differentiable and that $\gamma$ starts at $a$ and ends at $b$. We will also use the differential operators
$$
\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i \frac{\partial}{\partial y}\right) \quad \text { and } \quad \frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i \frac{\partial}{\partial y}\right) \text {. }
$$
复分析代写
复分析代考_COMPLEX ANALYSIS代考_TRADITIONAL DEFINITIONS OF HARMONIC FUNCTIONS
一些复杂的分析书籍将调和函数定义为满足拉普拉斯方程的二次连续可微函数。有了这个定义，就可以在圆环上使用格林恒等式 whichwepointedoutinsection1tobequiteelementary 表明这样的调和函数满足平均特性。因此，这类函数可以看作与谐波平均函数相同。我 们不会在这里追求这个想法，因为我们可以轻松地用更少的努力证明更强大的东西。
最令人欣慰的是将调和函数定义为连续函数 $u$ 存在其一阶偏导数及其二阶偏导数 $\partial^2 u / \partial x^2$ 和 $\partial^2 u / \partial y^2$ 存在并满足拉普拉斯方程。调用此类函数 harmonic-pde。我们现在将采用一个经典论证来证明 harmonic-pde 函数类与我们满足开集平均属性的连续函数类一致。的确，如果 $u$ 是在包含闭 单位圆盘的开集上定义的谐波 pde 函数，然后 $u$ 减去谐波平均函数 $U$ 我们在具有相同边界值的单位圆盘上构建了狄利克雷问题 $u$ 在单位圆上，如果 不是零函数，将具有正最大值或负最小值。假设它有一个正最大值 $M>0$ 在某一点 $z_0$ 在 $D_1(0)$. 选择 $\epsilon$ 和 $0<\epsilon<M$. 现在
$$
v(z):=u(z)-U(z)+\epsilon|z|^2
$$
等于 $\epsilon$ 在单位圆上并获得正值 $z_0$ 那大于 $\epsilon$. 因此， $v$ 在某个点达到正最大值 $w_0$ 在 $D_1(0)$. 的拉普拉斯算子 $v$ 在 $w_0$ 等于 $4 \epsilon$ ，这是严格积极的。然而，大一 微积分的单变量二阶导数检验适用于 $v$ 在里面 $x$-方向产生 $\partial^2 v / \partial x^2$ 必须小于或等于零。
Ifitwerepositive, $\$ v$ couldnothavealocalmaximumat $\$ w_0 \$$. 同样，二阶导数检验 $y$-方向产生 $\partial^2 v / \partial y^2$ 必须小于或等于零。我们得出结论， 拉普拉斯算子 $v$ 在 $w_0$ 必须小于或等于零，这是一个矛盾，因为拉普拉斯算子在 $D_1(0)$. 这表明 $u-U$ 不能有正值。如果我们更换 $u-U$ 经过 $U-u$, 同样的推理表明 $U-u$ 不能有正值。因此 $U-u \equiv 0$ 在单位圆盘上，我们已经证明 $u$ ，喜欢 $U$, 在平均意义上是谐波。最后，因为平移和缩放操作 在单词的两种意义上都保留了调和函数，我们可以将任何圆盘平移和缩放到单位圆盘，以便能够推导出调和的两个定义在任何开集上的等价性。 我们现在停止连接谐波并转向连接分析。
复分析代考COMPLEX ANALYSIS代考_ANALYTIC FUNCTIONS
当。。的时候 $200+$ 年 Poisson 和 Dirichlet 从调和函数中解脱出来，他们可能已经将注意力转向应用于解析函数的类似考虑，解析函数满足圆盘 的平均特性和圆的柯西定理。 为了理解本节的其余部分，读者需要知道orlookup复轮廓积分的定义 $\int\gamma f d z$ 沿着曲线 $\gamma$, 基本估计
$$
\left|\int_\gamma f d z\right| \leq \sup |f(z)|: z \in \gamma \cdot \operatorname{Length}(\gamma),
$$
和微积分基本定理 $\int_\gamma f^{\prime} d z=f(b)-f(a)$ 对于复杂的轮廓积分，假设 $f$ 是连续复数可微的，并且 $\gamma$ 开始于 $a$ 并结束于 $b$. 我们还将使用微分运算符
$$
\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i \frac{\partial}{\partial y}\right) \quad \text { and } \quad \frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i \frac{\partial}{\partial y}\right) .
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
