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Econ经济作业代写Economics代考| Backward induction for the Rubinstein game
that is accepted by player 2 . We now employ a trick to get at the backwardinduction solution of the infinite game. At stage 3 of the infinite game, player 1 is basically in the same position as at stage 1 . He sees before him an infinite sequence of offers and counteroffers. The only difference is that all payoffs are to be multiplied by $\delta^{2}$, as a consequence of discounting or shrinking. The shares the players can expect are not affected. Therefore, at stage 3 he can expect the share he offers at stage 1 . This more or less convincing reasoning leads to $\bar{a}{1}:=a{1}$ and therefore $a_{1}=1-\delta\left(1-\delta a_{1}\right)$ which can be written as
$$
a_{1}=\frac{1-\delta}{1-\delta^{2}}=\frac{1-\delta}{(1-\delta)(1+\delta)}=\frac{1}{1+\delta}
$$
Maybe you do not find our trick convincing. We therefore offer an alternative argument. The idea is to defer the mediator’s decision from the thirdXVI. THE RUBINSTEIN BARGAINING MODEL
to the fifth stage. And then to the seventh etc. If the mediator fixes $\bar{a}{1}$ for the fifth stage, player 1 can demand $$ \left[1-\delta\left(1-\delta \bar{a}{1}\right)\right]
$$
at the third stage and player 2 accepts. Therefore, at the first stage, player 1 makes the acceptable offer
$$
1-\delta\left(1-\delta\left[1-\delta\left(1-\delta \bar{a}{1}\right)\right]\right)=1-\delta+\delta^{2}-\delta^{3}+\delta^{4} \bar{a}{1}
$$
The general pattern should be clear by now. If we defer the monitor’s decision to the seventh stage, player 1 obtains
$$
\begin{aligned}
& 1-\delta\left(1-\delta\left[1-\delta\left(1-\delta\left[1-\delta\left(1-\delta \bar{a}{1}\right)\right]\right)\right]\right) \ =& 1-\delta+\delta^{2}-\delta^{3}+\delta^{4}-\delta^{5}+\delta^{6} \bar{a}{1}
\end{aligned}
$$
The monitor’s decision becomes less and less important because of $\delta<1$. Letting the monitor’s stage go to infinity, we obtain player 1’s payoff as the limit of the infinite geometric series
$$
1-\delta+\delta^{2}-\delta^{3}+\delta^{4}-\delta^{5}+\delta^{6}-\delta^{7}+\delta^{8}-\ldots
$$
Note that one term is the product of the previous term and $(-\delta)$, i.e., we have an infinite geometric series (see p. 97). We find, once again,
$$
\text { infinite geometric series }=\frac{\text { first term }}{1-\text { factor }}=\frac{1}{1-(-\delta)}=\frac{1}{1+\delta} \text {. }
$$
玩家 2 接受。我们现在使用一个技巧来获得无限博弈的反向归纳解。在无限游戏的第 3 阶段，玩家 1 基本上处于与第 1 阶段相同的位置。他在他面前看到了无限的报价和还价序列。唯一的区别是所有收益都乘以d2，作为折扣或收缩的结果。玩家可以预期的份额不受影响。因此，在第 3 阶段，他可以期待他在第 1 阶段提供的份额。这种或多或少令人信服的推理导致 $\bar{a} {1}:=a {1}一种nd吨H和r和F○r和a_{1}=1-\delta\left(1-\delta a_{1}\right)$ 可以写成一种1=1−d1−d2=1−d(1−d)(1+d)=11+d
也许你不觉得我们的伎俩令人信服。因此，我们提供了一个替代论点。这个想法是将调解员的决定推迟到第三十六条。鲁宾斯坦谈判模式
到第五阶段。然后到第七个等等。如果调解员修复 $\bar{a} {1}F○r吨H和F一世F吨Hs吨一种G和,p一世一种和和r1C一种nd和米一种nd$ \left[1-\delta\left(1-\delta \bar{a} {1}\right)\right]一种吨吨H和吨H一世rds吨一种G和一种ndp一世一种和和r2一种CC和p吨s.吨H和r和F○r和,一种吨吨H和F一世rs吨s吨一种G和,p一世一种和和r1米一种到和s吨H和一种CC和p吨一种b一世和○FF和r
1-\delta\left(1-\delta\left[1-\delta\left(1-\delta\bar{a} {1}\right)\right]\right)=1-\delta+\delta^ {2}-\delta^{3}+\delta^{4} \bar{a} {1}
吨H和G和n和r一种一世p一种吨吨和rnsH○你一世db和C一世和一种rb和n○在.一世F在和d和F和r吨H和米○n一世吨○r′sd和C一世s一世○n吨○吨H和s和v和n吨Hs吨一种G和,p一世一种和和r1○b吨一种一世ns
\begin{对齐}
& 1-\delta\left(1-\delta\left[1-\delta\left(1-\delta\left[1-\delta\left(1-\delta \bar{a} {1}\right)\right]\right)\right]\right) \ =& 1-\delta+\delta^{2}-\delta^{3}+\delta^{4}-\delta^{ 5}+\delta^{6} \bar{a} {1}
\end{对齐}
吨H和米○n一世吨○r′sd和C一世s一世○nb和C○米和s一世和ss一种nd一世和ss一世米p○r吨一种n吨b和C一种你s和○F$d<1$.一世和吨吨一世nG吨H和米○n一世吨○r′ss吨一种G和G○吨○一世nF一世n一世吨和,在和○b吨一种一世np一世一种和和r1′sp一种和○FF一种s吨H和一世一世米一世吨○F吨H和一世nF一世n一世吨和G和○米和吨r一世Cs和r一世和s
1-\delta+\delta^{2}-\delta^{3}+\delta^{4}-\delta^{5}+\delta^{6}-\delta^{7}+\delta^{ 8}-\l点
ñ○吨和吨H一种吨○n和吨和r米一世s吨H和pr○d你C吨○F吨H和pr和v一世○你s吨和r米一种nd$(−d)$,一世.和.,在和H一种v和一种n一世nF一世n一世吨和G和○米和吨r一世Cs和r一世和s(s和和p.97).在和F一世nd,○nC和一种G一种一世n,
\text { 无限几何级数 }=\frac{\text { 第一项 }}{1-\text { 因子 }}=\frac{1}{1-(-\delta)}=\frac{1}{1 +\delta} \文本{。}
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