如果你也在 怎样代写数论Number theory 学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|A Probabilistic Test
When testing whether a large number $n$ is prime, we are hoping to get a definitive yes or no answer. However, when faced with an extremely large number, this may be an impractical wish since it simply may take too long to get an answer. A good thing to do in such a situation is to compromise and instead use a probabilistic test. We’ll describe one such test using the absolute pseudoprime 561 .
Recall that for an odd prime $p$ the congruence $x^2 \equiv 1(\bmod p)$ has exactly two solutions: $x=1$ and $x=p-1$ (that is, $x=-1$ ). Now, since $2^{560} \equiv 1(\bmod 561)$, we see that $2^{280}$ is a solution to the congruence $x^2 \equiv 1(\bmod 561)$. Therefore, if 561 is prime, it follows that either $2^{280} \equiv 1(\bmod 561)$ or $2^{280} \equiv-1(\bmod 561)$.
Now, if $2^{280} \equiv 1(\bmod 561)$, we can repeat this argument and conclude that either $2^{140} \equiv 1(\bmod 561)$ or $2^{140} \equiv-1(\bmod 561)$. And if it is also the case that $2^{140} \equiv 1(\bmod 561)$, then we repeat again and conclude that either $2^{70} \equiv 1(\bmod 561)$ or $2^{70} \equiv-1(\bmod 561)$. Finally, if $2^{70} \equiv 1(\bmod 561)$, we repeat one last time and conclude that either $2^{35} \equiv 1(\bmod 561)$ or $2^{35} \equiv-1(\bmod 561)$.
In summary, the test for primeness is to check to see if $2^{35} \equiv 1$ $(\bmod 561)$ or if $2^{35 k} \equiv-1(\bmod 561)$ for some $k=1,2,2^2, 2^3$. If this condition is not satisfied, then we know immediately that 561 is not prime. If, on the other hand, this condition is satisfied, we cannot conclude with certainty that 561 is prime. This is where probability comes in.
We have stated this test for the value $a=2$ and for the number $n=561$. It is known in general that if $n$ is an odd composite number, the condition in this test will be satisfied by less than one fourth of the numbers from 1 to $n-1$. Let’s pick ten values of $a$ in this interval randomly and run this test on each number $a$. If the condition of the test is not satisfied for any value of $a$, then we again know immediately that $n$ is not prime. Suppose, however, that the condition is satisfied for all ten values of $a$. Then we clearly will be inclined to conclude that $n$ is prime. The probability that this conclusion is wrong is less than $\left(\frac{1}{4}\right)^{10}$, which is slightly less than one in a million. With fifteen values of $a$ we can improve the odds to less than one in a billion, and with twenty to less than one in a trillion!
数学代写|数论代写Number Theory代考|Can $n$ Divide $2^n-1$ or $2^n+1$ ?
There are infinitely many pseudoprimes, that is, numbers $n$ such that $n \mid 2^n-2$. Recall that a Mersenne prime is a prime number of the form $2^n-1$. It is therefore quite natural to ask whether there are any integers $n$ such that $n \mid 2^n-1$. One might also ask a similar question: can $n$ divide $2^n+1 ?$
It is not hard to come up with a conjecture that there are infinitely many values of $n$ such that $n \mid 2^n+1$. For example, since $3 \mid 2^3+$ $1=9$, and $9 \mid 2^9+1=513$, one suspects that this may be true for all powers of $3: 3,9,27,81, \ldots$. You are asked to verify this in Problem 9.12.
On the other hand, for numbers of the form $2^n-1$, which we call Mersenne numbers, it is never the case that $n \mid 2^n-1$ for $n>1$. Let’s prove this fact. Suppose, by way of contradiction, that $n$ is such a number; that is, suppose that $n>1$ and that $n \mid 2^n-1$. Clearly, $n$ is odd.
Let $p$ be the smallest prime in the prime decomposition of $n$. Since $n$ is odd, we know that $p>2$. Also, by Fermat’s little theorem, we know that $p \mid 2^{p-1}-1$. Next we let $b$ be the least positive integer such that $p \mid 2^b-1$. So $1<b \leq p-1$.
We claim that $b \mid n$, which would contradict the choice of $p$ as the smallest prime divisor of $n$. Write $n=q b+r$ with $0 \leq r<b$. Then, modulo $p$, we get
$$
0 \equiv 2^n-1=2^{q b+r}-1=\left(2^b\right)^q 2^r-1 \equiv(1)^q 2^r-1=2^r-1 \quad(\bmod p) .
$$Therefore, $r=0$; otherwise, we have $0<r<b$ and $p \mid 2^r-1$, contradicting the choice of $b$. Thus $b \mid n$, as claimed, and the proof is complete.
We now turn our attention to prime numbers that have a very particular form, namely, the form $2^n-1$, the Mersenne primes. As we discussed in Chapter 5 , these primes were originally of special interest because of their deep connection with perfect numbers. These days, however, our interest in Mersenne primes has much more to do with the fact that they are far better candidates for primeness tests than your average integer. But, first, let’s put Mersenne primes once again in their proper historical context.
Euclid proved that if the Mersenne number $2^n-1$ is prime, then $2^{n-1}\left(2^n-1\right)$ is perfect. This is Theorem 5.4. In Problem 5.14 we also saw Fermat’s result that the Mersenne number $2^n-1$ can be prime only if $n$ is prime. Euler proved that all even perfect numbers have exactly this form. The following proof of Euler’s result is based on a proof given by L. E. Dickson in 1911.
Theorem 9.1. If $n$ is an even perfect number, then $n=2^{p-1}\left(2^p-1\right)$ for some prime p such that $2^p-1$ is prime.
Proof
Recall that a positive integer $n$ is perfect if $\sigma(n)=2 n$, where $\sigma(n)$ is the sum of the positive divisors of $n$, and that in Problem 7.31 we verified that $\sigma(n)$ is a multiplicative function.
Since $n$ is even, we write $n=2^{k-1} m$, where $m$ is odd and $k>1$. We need to show that $m=2^k-1$ and that $m$ is prime.
Since $n$ is perfect, we can write
$$
2^k m=2 n=\sigma(n)=\sigma\left(2^{k-1} m\right)=\sigma\left(2^{k-1}\right) \sigma(m)=\left(2^k-1\right) \sigma(m) .
$$
数论代写
数学代写|数论代写Number Theory代考|A Probabilistic Test
当测试一个大数$n$是否是素数时，我们希望得到一个明确的是或否的答案。然而，当面对一个非常大的数字时，这可能是一个不切实际的愿望，因为它可能需要很长时间才能得到答案。在这种情况下，一个好的做法是妥协，而不是使用概率测试。我们将使用绝对伪素数561来描述一个这样的测试。
回想一下，对于奇素数$p$，同余$x^2 \equiv 1(\bmod p)$有两个解:$x=1$和$x=p-1$(即$x=-1$)。现在，因为$2^{560} \equiv 1(\bmod 561)$，我们知道$2^{280}$是同余$x^2 \equiv 1(\bmod 561)$的解。因此，如果561是素数，则得出$2^{280} \equiv 1(\bmod 561)$或$2^{280} \equiv-1(\bmod 561)$ .
现在，如果$2^{280} \equiv 1(\bmod 561)$，我们可以重复这个论证并得出$2^{140} \equiv 1(\bmod 561)$或$2^{140} \equiv-1(\bmod 561)$。如果$2^{140} \equiv 1(\bmod 561)$也是这样，那么我们再重复一遍，得出结论$2^{70} \equiv 1(\bmod 561)$或$2^{70} \equiv-1(\bmod 561)$。最后，如果$2^{70} \equiv 1(\bmod 561)$，我们最后一次重复并得出结论$2^{35} \equiv 1(\bmod 561)$或$2^{35} \equiv-1(\bmod 561)$ .
总之，素数测试是检查是否$2^{35} \equiv 1$$(\bmod 561)$或$2^{35 k} \equiv-1(\bmod 561)$对于某些$k=1,2,2^2, 2^3$。如果这个条件不满足，那么我们马上知道561不是素数。另一方面，如果满足这个条件，我们就不能肯定地得出561是素数的结论。这就是概率的用武之地。
我们已经为值$a=2$和数字$n=561$声明了这个测试。一般来说，如果$n$是一个奇合数，则从1到$n-1$之间的数字少于四分之一，则满足此测试中的条件。让我们在这个区间内随机选择10个$a$值，并对每个数字$a$运行这个测试。如果对于$a$的任何值都不满足检验条件，那么我们再次立即知道$n$不是素数。但是，假设对$a$的所有十个值都满足条件。那么我们显然会倾向于得出$n$是质数的结论。这个结论错误的概率小于$\left(\frac{1}{4}\right)^{10}$，也就是略小于百万分之一。如果有15个$a$值，我们可以将概率提高到十亿分之一以下，如果有20个，我们可以将概率提高到万亿分之一以下!
数学代写|数论代写Number Theory代考|Can $n$ Divide $2^n-1$ or $2^n+1$ ?
有无限多个伪素数，也就是说，$n$这样的数$n \mid 2^n-2$。回想一下，梅森素数是一个形式为$2^n-1$的素数。因此很自然地要问是否有整数$n$使得$n \mid 2^n-1$。有人可能会问类似的问题:$n$可以除以$2^n+1 ?$吗
不难推测出$n$有无限多个值使得$n \mid 2^n+1$。例如，由于$3 \mid 2^3+$$1=9$和$9 \mid 2^9+1=513$，人们怀疑这可能对$3: 3,9,27,81, \ldots$的所有权力都成立。在9.12题中要求验证这一点。
另一方面，对于形式为$2^n-1$的数，我们称之为梅森数，对于$n>1$，从来没有$n \mid 2^n-1$的情况。我们来证明这个事实。假设，作为一种矛盾，$n$是这样一个数字;也就是说，假设$n>1$和$n \mid 2^n-1$。显然，$n$很奇怪。
设$p$为$n$质数分解中最小的质数。因为$n$是奇数，我们知道$p>2$。同样，通过费马定理，我们知道$p \mid 2^{p-1}-1$。下面设$b$为最小正整数，使得$p \mid 2^b-1$。所以$11$。我们需要证明$m=2^k-1$和$m$是质数。
因为$n$是完美的，我们可以写
$$
2^k m=2 n=\sigma(n)=\sigma\left(2^{k-1} m\right)=\sigma\left(2^{k-1}\right) \sigma(m)=\left(2^k-1\right) \sigma(m) .
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
