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数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Reflexive Relations
A relation $\mathrm{R}$ defined on a set $\mathrm{A}$ is said to be reflexive if $(x, x) \in \mathrm{R}$ for every element $x \in \mathrm{A}$. i.e. $\quad x \mathrm{R} x \quad \forall x \in \mathrm{A}$
Consider the following relations on the set $\mathrm{A}={1,3,5,7}$
$$
R_1={(1,1),(1,3),(1,5),(5,5),(5,7)}
$$
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{R}_2={(1,3),(1,5),(5,7),(3,7)} \
& \mathrm{R}_3={(1,1),(1,3),(3,3),(5,5),(5,7),(1,7),(7,7)}
\end{aligned}
$$
From the above relations it is clear that $R_3$ is a reflexive relation. $R_1$ is not a reflexive relation as $(3,3) \notin R_1$ and $(7,7) \notin R_1$. Similarly $R_2$ is also not reflexive.
Symmetric Relations
A relation $\mathrm{R}$ defined on a set $\mathrm{A}$ is said to be symmetric if $(x, y) \in \mathrm{R}$ then $(y, x) \in \mathrm{R}$. i.e.
$$
x \mathrm{R} y \Rightarrow y \mathrm{R} x .
$$
Consider the following relations on the set $\mathrm{A}={1,3,5,7}$
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{R}_1={(1,1),(1,3),(3,5),(3,1),(5,3),(5,5)} \
& \mathrm{R}_2={(1,1),(1,3),(3,1),(3,5),(5,3),(5,7),(7,7)}
\end{aligned}
$$
From the above relations it is clear that $R_1$ is a symmetric relation, but $R_2$ is not a symmetric relation as $(5,7) \in R_2 \Rightarrow(7,5) \notin R_2$.
Transitive Relations
A relation $\mathrm{R}$ defined on a set $\mathrm{A}$ is said to be transitive if $(x, y) \in \mathrm{R}$ and $(y, z) \in \mathrm{R}$ then $(x, z) \in \mathrm{R}$. i.e. $\quad x \mathrm{R} y$ and $y \mathrm{R} z \Rightarrow x \mathrm{R} z$
Consider the following relations on the set $\mathrm{A}={1,3,5,7}$.
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{R}_1={(1,1),(1,3),(1,5),(1,7),(3,3),(3,5),(3,7),(5,3),(5,5),(5,7)} \
& \mathrm{R}_2={(1,1),(1,3),(3,5),(5,5),(7,7)}
\end{aligned}
$$
From the above relations it is clear that $R_1$ is a transitive relation. The relation $R_2$ is not transitive as $(1,3) \in \mathrm{R}_2,(3,5) \in \mathrm{R}_2 \Rightarrow(1,5) \notin \mathrm{R}_2$.
数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Anti-Reflexive Relations
A relation $\mathrm{R}$ defined on a set $\mathrm{A}$ is said to be anti-reflexive or irreflexive if $(x, x) \notin \mathrm{R}$ for every element $x \in \mathrm{A}$.
i.e. $x$ R $x \quad \forall x \in \mathrm{A}$
Consider the following relations on the set $\mathrm{A}={1,3,5,7}$
$$
\begin{aligned}
& R_1={(1,1),(1,3),(1,7),(3,3),(5,5),(5,7),(7,7)} \
& R_2={(1,3),(1,5),(5,7),(3,7)} \
& R_3={(1,1),(1,3),(1,5),(7,7)}
\end{aligned}
$$
From the above relations it is clear that $R_2$ is an anti-reflexive relation. $R_3$ is not an anti reflexive relation as $(1,1) \in R_3$ and $(7,7) \in R_3$. Similarly $R_1$ is not anti-reflexive relation.
Asymmetric Relations
A relation $\mathrm{R}$ defined on a set $\mathrm{A}$ is said to be asymmetric if $(x, y) \in \mathrm{R}$ then $(y, x) \notin \mathrm{R}$.
$$
\text { i.e. } x \mathrm{R} y \Rightarrow y \mathrm{R} x
$$
Consider the following relations on the set $A={1,3,5,7}$
$$
\begin{aligned}
& R_1={(1,3),(3,5),(3,7),(5,7)} \
& R_2={(1,3),(3,5),(3,7),(5,3),(5,7)}
\end{aligned}
$$
From the above relations it is clear that $R_1$ is an asymmetric relation. $R_2$ is not an asymmetric relation as $(3,5) \in R_2 \Rightarrow(5,3) \in R_2$.
A relation $\mathrm{R}$ defined on a set $\mathrm{A}$ is said to be anti-symmetric relation if $(x, y) \in \mathrm{R}$ and $(y, x) \in \mathrm{R}$, then $x=y$.
i.e. $\quad x \mathrm{R} y$ and $y \mathrm{R} x \Rightarrow x=y$.
Consider the following relations on the set $\mathrm{A}={1,3,5,7}$
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{R}_1={(1,1),(1,3),(3,5),(5,5),(5,7)} \
& \mathrm{R}_2={(1,1),(3,3),(7,7)} \
& \mathrm{R}_3={(3,3),(3,5),(5,3),(5,7),(7,5),(7,7)}
\end{aligned}
$$
From the above relations it is clear that $R_1$ and $R_2$ are anti-symmetric. $R_3$ is not an antisymmetric relation as $(3,5) \in R$ and $(5,3) \in R$, but $3 \neq 5$. Similarly $(5,7) \in R$ and $(7,5) \in R$, but $5 \neq 7$.
离散数学代写
数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Reflexive Relations
如果在集合$\mathrm{A}$上定义的关系$\mathrm{R}$对于每个元素$x \in \mathrm{A}$都是自反的，则称其为$(x, x) \in \mathrm{R}$。即$\quad x \mathrm{R} x \quad \forall x \in \mathrm{A}$
考虑集合$\mathrm{A}={1,3,5,7}$上的下列关系
$$
R_1={(1,1),(1,3),(1,5),(5,5),(5,7)}
$$
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{R}_2={(1,3),(1,5),(5,7),(3,7)} \
& \mathrm{R}_3={(1,1),(1,3),(3,3),(5,5),(5,7),(1,7),(7,7)}
\end{aligned}
$$
从上述关系可以清楚地看出$R_3$是一个自反关系。$R_1$不像$(3,3) \notin R_1$和$(7,7) \notin R_1$那样是自反关系。同样，$R_2$也不是自反的。
对称关系
在集合$\mathrm{A}$上定义的关系$\mathrm{R}$，如果$(x, y) \in \mathrm{R}$则$(y, x) \in \mathrm{R}$，则称为对称关系。例如:
$$
x \mathrm{R} y \Rightarrow y \mathrm{R} x .
$$
考虑集合$\mathrm{A}={1,3,5,7}$上的下列关系
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{R}_1={(1,1),(1,3),(3,5),(3,1),(5,3),(5,5)} \
& \mathrm{R}_2={(1,1),(1,3),(3,1),(3,5),(5,3),(5,7),(7,7)}
\end{aligned}
$$
从上述关系可以清楚地看出，$R_1$是一个对称关系，但$R_2$不像$(5,7) \in R_2 \Rightarrow(7,5) \notin R_2$那样是一个对称关系。
传递关系
在集合$\mathrm{A}$上定义的关系$\mathrm{R}$如果$(x, y) \in \mathrm{R}$和$(y, z) \in \mathrm{R}$然后$(x, z) \in \mathrm{R}$，则称为可传递关系。即$\quad x \mathrm{R} y$和$y \mathrm{R} z \Rightarrow x \mathrm{R} z$
考虑集合$\mathrm{A}={1,3,5,7}$上的下列关系。
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{R}_1={(1,1),(1,3),(1,5),(1,7),(3,3),(3,5),(3,7),(5,3),(5,5),(5,7)} \
& \mathrm{R}_2={(1,1),(1,3),(3,5),(5,5),(7,7)}
\end{aligned}
$$
从上述关系可以清楚地看出$R_1$是一个传递关系。关系$R_2$不像$(1,3) \in \mathrm{R}_2,(3,5) \in \mathrm{R}_2 \Rightarrow(1,5) \notin \mathrm{R}_2$那样可传递。
数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Anti-Reflexive Relations
在集合$\mathrm{A}$上定义的关系$\mathrm{R}$如果对于每个元素$x \in \mathrm{A}$都是$(x, x) \notin \mathrm{R}$，则称为反自反的或非自反的。
即$x$ R $x \quad \forall x \in \mathrm{A}$
考虑集合$\mathrm{A}={1,3,5,7}$上的下列关系
$$
\begin{aligned}
& R_1={(1,1),(1,3),(1,7),(3,3),(5,5),(5,7),(7,7)} \
& R_2={(1,3),(1,5),(5,7),(3,7)} \
& R_3={(1,1),(1,3),(1,5),(7,7)}
\end{aligned}
$$
从上述关系可以清楚地看出$R_2$是一个反自反关系。$R_3$不像$(1,1) \in R_3$和$(7,7) \in R_3$那样是反自反关系。同样$R_1$也不是反自反关系。
不对称关系
在集合$\mathrm{A}$上定义的关系$\mathrm{R}$如果为$(x, y) \in \mathrm{R}$则为$(y, x) \notin \mathrm{R}$，则称为不对称关系。
$$
\text { i.e. } x \mathrm{R} y \Rightarrow y \mathrm{R} x
$$
考虑集合$A={1,3,5,7}$上的下列关系
$$
\begin{aligned}
& R_1={(1,3),(3,5),(3,7),(5,7)} \
& R_2={(1,3),(3,5),(3,7),(5,3),(5,7)}
\end{aligned}
$$
从上述关系可以清楚地看出$R_1$是一个非对称关系。$R_2$不像$(3,5) \in R_2 \Rightarrow(5,3) \in R_2$是不对称关系。
在集合$\mathrm{A}$上定义的关系$\mathrm{R}$称为反对称关系，如果$(x, y) \in \mathrm{R}$和$(y, x) \in \mathrm{R}$，则$x=y$。
即$\quad x \mathrm{R} y$和$y \mathrm{R} x \Rightarrow x=y$。
考虑集合$\mathrm{A}={1,3,5,7}$上的下列关系
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{R}_1={(1,1),(1,3),(3,5),(5,5),(5,7)} \
& \mathrm{R}_2={(1,1),(3,3),(7,7)} \
& \mathrm{R}_3={(3,3),(3,5),(5,3),(5,7),(7,5),(7,7)}
\end{aligned}
$$
由上述关系可知，$R_1$和$R_2$是反对称的。$R_3$不是像$(3,5) \in R$和$(5,3) \in R$那样的反对称关系，而是$3 \neq 5$。类似于$(5,7) \in R$和$(7,5) \in R$，但是$5 \neq 7$。
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