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线性规划Linear Programming是一种数学建模技术，涉及在考虑各种约束的情况下最大化或最小化线性函数。事实证明，这种方法在指导不同领域的定量决策方面很有用，比如商业规划、工业工程，在某种程度上还包括社会科学和物理科学。线性规划，也称为线性优化，是一种在需求由线性关系定义的数学模型中实现最佳可能结果的方法。
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数学代写|线性规划代写Linear Programming代考|The Separation Theorem
We shall define a halfspace of $\mathbb{R}^n$ to be any set given by a single (nontrivial) linear inequality:
$$
\left{x \in \mathbb{R}^n: \sum_{j=1}^n a_j x_j \leq b\right}, \quad\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right) \neq 0 .
$$
Every halfspace is convex. To see this, suppose that $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ and $y=$ $\left(y_1, y_2, \ldots, y_n\right)$ both satisfy the linear inequality in (10.3). Fix $t$ between zero and one. Then both $t$ and $1-t$ are nonnegative, and so multiplying by them preserves the direction of inequality. Therefore, multiplying $\sum_j a_j x_j \leq b$ by $t$ and $\sum_j a_j y_j \leq b$ by $1-t$ and then adding, we get
$$
\sum_j a_j\left(t x_j+(1-t) y_j\right) \leq b
$$
That is, $t x+(1-t) y$ also satisfies the inequality defining the halfspace.
If we allow the vector of coefficients $\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$ in the definition of a halfspace to vanish, then we call the set so defined a generalized halfspace. It is easy to see that every generalized halfspace is simply a halfspace, all of $\mathbb{R}^n$, or the empty set. Also, every generalized halfspace is clearly convex.
A polyhedron is defined as the intersection of a finite collection of generalized halfspaces. That is, a polyhedron is any set of the form
$$
\left{x \in \mathbb{R}^n: \sum_{j=1}^n a_{i j} x_j \leq b_i, i=1,2, \ldots, m\right}
$$
数学代写|线性规划代写Linear Programming代考|Farkas’ Lemma
The following result, known as Farkas’ Lemma, played a fundamental role in the proof of the separation theorem of the preceding section (Theorem 10.4). In this section, we state it formally as a lemma and give its proof.
LEMMA 10.5. The system $A x \leq b$ has no solutions if and only if there is a $y$ such that
$$
\begin{aligned}
A^T y & =0 \
y & \geq 0 \
b^T y & <0 .
\end{aligned}
$$
Proof. Consider the linear program
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{maximize} \quad 0 \
& \text { subject to } A x \leq b
\end{aligned}
$$
and its dual
$$
\begin{aligned}
\operatorname{minimize} \quad b^T y & \
\text { subject to } A^T y & =0 \
y & \geq 0 .
\end{aligned}
$$
Clearly, the dual is feasible (just take $y=0$ ). So if the primal is feasible, then the dual is bounded. Also, if the primal is infeasible, the dual must be unbounded. That is, the primal is infeasible if and only if the dual is unbounded. To finish the proof, we claim that the dual is unbounded if and only if there exists a solution to (10.8). Indeed, suppose that the dual is unbounded. The dual simplex method is guaranteed to prove that it is unbounded, and it does so as follows. At the last iteration, a step direction $\Delta y$ is computed that preserves feasibility, i.e.,
$$
A^T \Delta y=0
$$
is a descent direction for the objective function, i.e.,
$$
b^T \Delta y<0
$$
and is a direction for which the step length is unbounded, i.e.,
$$
\Delta y \geq 0
$$
线性规划代写
数学代写|线性规划代写Linear Programming代考|The Separation Theorem
我们将定义$\mathbb{R}^n$的半空间为由单个(非平凡)线性不等式给定的任意集合:
$$
\left{x \in \mathbb{R}^n: \sum_{j=1}^n a_j x_j \leq b\right}, \quad\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right) \neq 0 .
$$
每个半空间都是凸的。为了了解这一点，假设$x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$和$y=$$\left(y_1, y_2, \ldots, y_n\right)$都满足式(10.3)中的线性不等式。将$t$固定在0和1之间。那么$t$和$1-t$都是非负的，因此乘以它们可以保持不平等的方向。因此，$\sum_j a_j x_j \leq b$乘以$t$, $\sum_j a_j y_j \leq b$乘以$1-t$，然后相加，我们得到
$$
\sum_j a_j\left(t x_j+(1-t) y_j\right) \leq b
$$
也就是说，$t x+(1-t) y$也满足定义半空间的不等式。
如果我们允许在半空间定义中的系数向量$\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$消失，那么我们称这样定义的集合为广义半空间。很容易看出，每一个广义半空间都是一个半空间，所有的$\mathbb{R}^n$，或空集。而且，每一个广义半空间都是明显凸的。
多面体被定义为有限广义半空间集合的交点。也就是说，多面体是任意形式的集合
$$
\left{x \in \mathbb{R}^n: \sum_{j=1}^n a_{i j} x_j \leq b_i, i=1,2, \ldots, m\right}
$$
数学代写|线性规划代写Linear Programming代考|Farkas’ Lemma
下面的结果被称为Farkas引理，它在前一节的分离定理(定理10.4)的证明中起了基础作用。在本节中，我们将其形式化地表述为一个引理并给出它的证明。
引理10.5。当且仅当存在$y$时，系统$A x \leq b$没有解
$$
\begin{aligned}
A^T y & =0 \
y & \geq 0 \
b^T y & <0 .
\end{aligned}
$$
证明。考虑线性规划
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{maximize} \quad 0 \
& \text { subject to } A x \leq b
\end{aligned}
$$
它是对偶的
$$
\begin{aligned}
\operatorname{minimize} \quad b^T y & \
\text { subject to } A^T y & =0 \
y & \geq 0 .
\end{aligned}
$$
显然，这两种方法是可行的(以$y=0$为例)。如果原数是可行的，那么对偶是有界的。同样，如果原数是不可行的，则对偶必须是无界的。也就是说，当且仅当对偶无界时，原数是不可行的。为了完成证明，我们声明对偶是无界的当且仅当(10.8)有解存在。的确，假设对偶是无界的。对偶单纯形法保证证明它是无界的，其证明方法如下:在最后一次迭代中，计算一个保持可行性的阶跃方向$\Delta y$，即:
$$
A^T \Delta y=0
$$
为目标函数的下降方向，即
$$
b^T \Delta y<0
$$
为步长无界的方向，即:
$$
\Delta y \geq 0
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
