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数学代写|数论代写Number Theory代考|Residue Classes, Congruences
Note that the class symbol $[\mathrm{m}]$ contains no reference to the given integer, the modulus $n$. Some writers affix a subscript $n$ to the class symbol in case of ambiguity. In that case I prefer the notation $m+(n)$. For one thing, it is easier to type.
The class of zero, modulo 3 , is $[0]={\ldots,-12,-9,-6,-3,0,3,6, \ldots}$ consisting of all multiples of 3 . You can think of them as equidistant points on the line, 3 units apart. Each of the numbers is said to represent the class.
The class of 1 ,
$$
[1]={\ldots,-11,-8,-5,-2,1,4,7, \ldots},
$$
is obtained by shifting the zero class one step to the right along the line. It consists of the numbers that yield the remainder 1 , on division by 3 .
Another shift to the right gives us the class
$$
[2]={\ldots,-10,-7,-4,-1,2,5, \ldots} .
$$
These are the numbers yielding the remainder 2 on division by 3 .
A third shift gives us back the class $[3]=[0]$.
For general $n>0$ we obtain $n$ different, and pairwise disjoint, classes
$$
[0],[1],[2], \ldots,[n-1] .
$$
Shifting one class $n$ unit steps in either direction gives us back the same class.
Each integer belongs to exactly one class modulo $n$. We say that the $n$ classes constitute a partition of the set $\mathbf{Z}$.
Those who have taken a course in Discrete Math will ask, what is the equivalence relation belonging to this partition. More concretely, the question is: when (for given $n>0$ ) is $a+(n)=b+(n)$ ?
Equality clearly holds if and only if either of $a$ and $b$ belongs to the class of the other, i.e., if $a$ and $b$ differ by a multiple of $n$.
Another way of expressing this condition is that $n$ divide the difference: $n \mid(a-b)$.
A third way of phrasing the condition is that $a$ and $b$ leave the same remainder on division by $n$.
We introduce a name and notation for this condition.
数学代写|数论代写Number Theory代考|Order, Little Fermat, Euler
The concept of order is basic to several primality tests. We often relate the order of a class to the Euler Function so we give its definition right away.
A.V.1 Definition. The Euler Function, denoted $\phi$, is defined by the following, for positive integers $n$ :
For $n=1, \phi(1)=1$.
For $n>1, \phi(n)$ is the number of invertible classes modulo $n$; in other words, the number of integers $m, 0 \leq m \leq n-1$, satisfying $(m, n)=1$.
A.V.2 Example. By one of the last results of the previous Section (Corollary A.IV), $\phi(p)=p-1$ for all prime numbers $p$, as all non-zero classes are invertible.
For a prime power $n=p^k$ start by noting that $(m, n)>1$ if and only $p \mid m$. So we start with the $p^k$ classes and delete those corresponding to multiples of $p$. There are $p^k / p=p^{k-1}$ of these, so $\phi\left(p^k\right)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-1 / p)$.
We have studied $n=15$ in an earlier example. The non-invertible classes correspond to multiples of 3 and 5 . There are 5 multiples of 3 between 0 and 14 , and 3 multiples of 5 . So we delete these, and put back the zero class which we deleted twice: $\phi(15)=15-5-3+1=8$.
The invertible classes are, once again, [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14].
In the context of the Chinese Remainder Theorem (B.I.4) we will prove a result enabling us to compute $\phi(n)$ once we know the prime factorization of $n$.
A.V.3 Definition. Fix the positive integer $n$. The order of $m$ modulo $n$, denoted
$$
\operatorname{ord}_n(m)
$$
is defined as the least positive exponent $d$ for which
$$
[m]^d=[1] .
$$
If clear from the context, the subscript $n$ may be omitted.
数论代写
数学代写|数论代写Number Theory代考|Residue Classes, Congruences
注意，类符号$[\mathrm{m}]$不包含对给定整数的引用，即模数$n$。有些编写者在类符号后面加上一个下标$n$以避免歧义。在这种情况下，我更喜欢用$m+(n)$这个符号。首先，它更容易打字。
以3为模的0类，是$[0]={\ldots,-12,-9,-6,-3,0,3,6, \ldots}$由所有3的倍数组成。你可以把它们看作直线上等距的点，间隔3个单位。每一个数字都代表一个类别。
1的类，
$$
[1]={\ldots,-11,-8,-5,-2,1,4,7, \ldots},
$$
是通过将0类沿直线向右移动一步获得的。它由除3后余数为1的数组成。
再向右移动就得到了这个类
$$
[2]={\ldots,-10,-7,-4,-1,2,5, \ldots} .
$$
这些是除3后余数为2的数。
第三次轮班让我们回到课堂$[3]=[0]$。
对于一般的$n>0$，我们得到$n$不同的、两两不相交的类
$$
[0],[1],[2], \ldots,[n-1] .
$$
向任意方向移动一个类$n$单位步长会返回同一个类。
每个整数只属于一个类模$n$。我们说$n$类构成集合$\mathbf{Z}$的一个分区。
那些上过离散数学课程的人会问，属于这个划分的等价关系是什么。更具体地说，问题是:(给定$n>0$) $a+(n)=b+(n)$是什么时候?
当且仅当$a$和$b$中的任何一个属于另一个的类，即$a$和$b$相差$n$的倍数时，等式显然成立。
另一种表达这种情况的方法是$n$除以差:$n \mid(a-b)$。
表述该条件的第三种方法是$a$和$b$除$n$后的余数相同。
我们为这种情况引入一个名称和符号。
数学代写|数论代写Number Theory代考|Order, Little Fermat, Euler
序的概念是几个素数检验的基础。我们经常把类的阶数和欧拉函数联系起来，所以我们马上给出它的定义。
a.v.1定义。对于正整数$n$，欧拉函数($\phi$)定义如下:
浏览$n=1, \phi(1)=1$。
对$n>1, \phi(n)$取$n$模的可逆类的个数;换句话说，满足$(m, n)=1$的整数个数$m, 0 \leq m \leq n-1$。
a.v.2示例:根据上一节的最后一个结果(推论A.IV)， $\phi(p)=p-1$适用于所有素数$p$，因为所有非零类都是可逆的。
对于质数幂$n=p^k$，首先注意$(m, n)>1$如果且仅$p \mid m$。因此，我们从$p^k$类开始，并删除与$p$的倍数相对应的类。这里有$p^k / p=p^{k-1}$，所以是$\phi\left(p^k\right)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-1 / p)$。
我们在前面的例子中研究过$n=15$。不可逆类对应于3和5的倍数。0到14之间有5个3的倍数，还有3个5的倍数。所以我们删除这些，并放回0类，我们删除了两次:$\phi(15)=15-5-3+1=8$。
可逆类仍然是[1]、[2]、[4]、[7]、[8]、[11]、[13]、[14]。
在中国剩余定理(B.I.4)的背景下，我们将证明一个结果，使我们能够计算$\phi(n)$，一旦我们知道$n$的质因数分解。
a.v.3定义。修复正整数$n$。$m$模$n$的阶，表示
$$
\operatorname{ord}_n(m)
$$
定义为最小正指数$d$哪个
$$
[m]^d=[1] .
$$
如果从上下文中清除，则可以省略下标$n$。
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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
