物理代考| Reduction of the Basis 量子力学代写
物理代写
8.2 Reduction of the Basis
Let us try to formalize this measurement theory. Suppose we are looking at a single particle, and we have a complete set of the eigenfunctions of some hermitian operator with real eigenvalues at our disposal
$$
F \psi_{f}(x)=f \psi_{f}(x) \quad ; \text { eigenfunctions }
$$
Order the eigenvalues $f_{0} \leq f_{1} \leq f_{2} \cdots$, and expand the wave function $\Psi(x, t)$ in this complete set of eigenfuctions
$$
\Psi(x, t)=\sum_{f} c_{f}(t) \psi_{f}(x) \quad ; \text { complete set }
$$
The state is normalized, so that
$$
\sum_{f}\left|c_{f}(t)\right|^{2}=1
$$
Measurement theory then assumes the following:
(1) If we make a precise measurement of the quantity $F$, we will observe one of the eigenvalues $f$;
(2) If we perform a pure pass measurement at a time $t_{0}$ that lets the eigenvalue $f$ through, then the wave function is reduced to $^{4}$
$$
\begin{aligned}
\Psi(x, t) &=c_{f}(t) \psi_{f}(x) \quad ; t \geq t_{0} \
\left|c_{f}(t)\right|^{2} &=1
\end{aligned}
$$
The measurement is reproducible and the basis is reduced.
(3) If the measurement simply lets the eigenvalues in the set $f_{1} \leq f \leq f_{2}$ through, then the basis is reduced to
$$
\begin{aligned}
\Psi(x, t) &=\sum_{f}^{\prime} c_{f}(t) \psi_{f}(x) & & ; t \geq t_{0} \
\sum_{f}^{\prime}\left|c_{f}(t)\right|^{2} &=1 & &
\end{aligned}
$$
where the sum $\sum_{f}^{\prime}$ goes over $f_{1} \leq f \leq f_{2}$.
${ }^{4}$ Note that the coefficient $c_{f}(t)$ must be rescaled to achieve this norm (see Prob. 10.2).
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8.2 降低基数
让我们尝试将这种测量理论形式化。假设我们正在查看一个粒子，并且我们有一些厄米算子的完整特征函数集，并且我们可以使用真实的特征值
$$
F \psi_{f}(x)=f \psi_{f}(x) \quad ; \text { 特征函数 }
$$
对特征值 $f_{0} \leq f_{1} \leq f_{2} \cdots$ 排序，并在这组完整的特征函数中展开波函数 $\Psi(x, t)$
$$
\Psi(x, t)=\sum_{f} c_{f}(t) \psi_{f}(x) \quad ; \text { 完整集 }
$$
状态被归一化，所以
$$
\sum_{f}\left|c_{f}(t)\right|^{2}=1
$$
测量理论假设如下：
(1) 如果我们对数量 $F$ 进行精确测量，我们将观察到一个特征值 $f$；
(2) 如果我们在时间 $t_{0}$ 执行纯通过测量，让特征值 $f$ 通过，那么波函数将简化为 $^{4}$
$$
\开始{对齐}
\Psi(x, t) &=c_{f}(t) \psi_{f}(x) \quad ; t \geq t_{0} \
\left|c_{f}(t)\right|^{2} &=1
\end{对齐}
$$
测量是可重复的并且减少了基础。
(3) 如果测量只是让集合 $f_{1} \leq f \leq f_{2}$ 中的特征值通过，则基简化为
$$
\开始{对齐}
\Psi(x, t) &=\sum_{f}^{\prime} c_{f}(t) \psi_{f}(x) & & ; t \geq t_{0} \
\sum_{f}^{\prime}\left|c_{f}(t)\right|^{2} &=1 & &
\end{对齐}
$$
总和 $\sum_{f}^{\prime}$ 超过 $f_{1} \leq f \leq f_{2}$。
${ }^{4}$ 注意，必须重新调整系数 $c_{f}(t)$ 才能达到这个标准（见 Prob. 10.2）。
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上至高压线，下至发电机，只要用到电的地方就有相对论效应存在！相对论是关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创立，相对论的提出给物理学带来了革命性的变化，被誉为现代物理性最伟大的基础理论。
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