数学代写| Determinants 离散数学代写代写 - 代考代写：100%准时可靠您的作业代写专家

The determinant is a function defined on square matrices and its value is a scalar. A key property of determinants is that a matrix is invertible if and only if its determinant is non-zero. The determinant of a $2 \times 2$ matrix is given by
$$
\left|\begin{array}{ll}
a & b \
c & d
\end{array}\right|=a d-b c
$$
The determinant of a $3 \times 3$ matrix is given by
$$
\left|\begin{array}{llc}
a & b & c \
d & e & f \
g & h & i
\end{array}\right|=a e i+b f g+c d h-a f h-b d i-c e g
$$
Cofactors
Let $A$ be an $n \times n$ matrix. For $1 \leq i, j \leq n$, the $(i, j)$ minor of $A$ is defined to be the $(n-1) \times(n-1)$ matrix obtained by deleting the $i$-th row and $j$-th column of $A$ (Fig. 8.5).
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8 Matrix Theory
Fig. $8.5$ Determining the $(i, j)$ minor of $\mathrm{A}$
$$
\left(\begin{array}{cccccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots . & a_{1 j} & \ldots & a_{1 n} \
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 j} & \ldots & a_{2 n} \
a_{31} & a_{32} & \ldots . & a_{3 j} & \ldots . & a_{3 n} \
\ldots & \ldots . & \ldots & \ldots . & \ldots . & \ldots . \
a_{i 1} & a_{i 2} & \ldots . & a_{i j} & \ldots . & a_{i n} \
\ldots & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots . \
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots . & a_{n j} & \ldots . & a_{n n}
\end{array}\right)
$$
$i, j$ minor of $A$
The shaded row is the $i$ th row, and the shaded column is the $j$ th column. These both are deleted from A to form the $(i, j)$ minor of A, and this is a $(n-1) \times(n-1)$ matrix.

The $(i, j)$ cofactor of $A$ is defined to be $(-1)^{i+j}$ times the determinant of the $(i, j)$ minor. The $(i, j)$ cofactor of $A$ is denoted by $K_{i},(A)$.

The cofactor matrix Cof A is formed in this way where the $(i, j)$ th element in the cofactor matrix is the $(i, j)$ cofactor of A.
Definition of Determinant
The determinant of a matrix is defined as
$$
\operatorname{det} \mathrm{A}=\sum_{j=1}^{n} A_{i j} K_{i j} .
$$
Another words the determinant of $\mathrm{A}$ is determined by taking any row of $A$ and multiplying each element by the corresponding cofactor and adding the results. The determinant of the product of two matrices is the product of their determinants.
$$
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det} A \times \operatorname{det} B
$$
Definition
The adjugate of $A$ is the $n \times n$ matrix $A d j(A)$ whose $(i, j)$ entry is the $(j, i)$ cofactor $K_{j i}(A)$ of $A$. That is, the adjugate of $\mathrm{A}$ is the transpose of the cofactor matrix of $\mathrm{A}$. Inverse of $\mathbf{A}$

The inverse of $\mathrm{A}$ is determined from the determinant of $\mathrm{A}$ and the adjugate of $\mathrm{A}$. That is,
$$
\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} \mathrm{A}} \operatorname{Adj} A=\frac{1}{\operatorname{det} \mathrm{A}}(\operatorname{Cof} \mathrm{A})^{\mathrm{T}}
$$

行列式是在方阵上定义的函数，其值为标量。行列式的一个关键特性是，当且仅当其行列式非零时，矩阵才是可逆的。 $2 \times 2$ 矩阵的行列式由下式给出
$$
\left|\begin{数组}{ll}
a & b \
开发
\end{数组}\right|=a d-b c
$$
$3 \times 3$ 矩阵的行列式由下式给出
$$
\left|\begin{数组}{llc}
a & b & c \
d & e & f \
g&h&我
\end{数组}\right|=a e i+b f g+c d h-a f h-b d i-c e g
$$
辅因子
令$A$ 为$n\times n$ 矩阵。对于$1 \leq i, j \leq n$，$A$ 的$(i, j)$ 次要定义为删除$ 得到的$(n-1) \times(n-1)$ 矩阵$A$ 的第 i$-th 行和 $j$-th 列（图 8.5）。
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8 矩阵理论
图 $8.5$ 确定 $\mathrm{A}$ 的 $(i, j)$ 小调
$$
\left(\begin{数组}{cccccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots 。 & a_{1 j} & \ldots & a_{1 n} \
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 j} & \ldots & a_{2 n} \
a_{31} & a_{32} & \ldots 。 & a_{3 j} & \ldots 。 & a_{3 n} \
\ldots & \ldots 。 & \ldots & \ldots 。 & \ldots 。 & \ldots 。 \
a_{i 1} & a_{i 2} & \ldots 。 & a_{i j} & \ldots 。 & a_{i n} \
\ldots & \ldots 。 & \ldots 。 & \ldots 。 & \ldots 。 & \ldots 。 \
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots 。 & a_{n j} & \ldots 。 & a_{n n}
\end{数组}\右）
$$
$a$ 的 $i, j$ 小调
阴影行是第 $i$ 行，阴影列是第 $j$ 列。这两个都从 A 中删除以形成 A 的 $(i, j)$ 小调，这是一个 $(n-1) \times(n-1)$ 矩阵。

$A$ 的 $(i, j)$ 辅因子定义为 $(-1)^{i+j}$ 乘以 $(i, j)$ 小调的行列式。 $A$ 的 $(i, j)$ 辅因子用 $K_{i},(A)$ 表示。

辅因子矩阵 Cof A 以这种方式形成，其中辅因子矩阵中的第 $(i, j)$ 元素是 A 的 $(i, j)$ 辅因子。
行列式的定义
矩阵的行列式定义为
$$
\operatorname{det} \mathrm{A}=\sum_{j=1}^{n} A_{i j} K_{i j} 。
$$
换句话说，$\mathrm{A}$ 的行列式是通过取 $A$ 的任何一行并将每个元素乘以相应的辅因子并添加结果来确定的。两个矩阵的乘积的行列式是它们的行列式的乘积。
$$
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det} A \times \operatorname{det} B
$$
定义
$A$ 的对数是 $n \times n$ 矩阵 $A dj(A)$，它的 $(i, j)$ 条目是 $(j, i)$ 辅因子 $K_{ji}(A)$澳元。也就是说，$\mathrm{A}$ 的对数是 $\mathrm{A}$ 的辅因子矩阵的转置。 $\mathbf{A}$ 的逆

$\mathrm{A}$ 的逆由 $\mathrm{A}$ 的行列式和 $\mathrm{A}$ 的并量决定。那是，
$$
\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} \mathrm{A}} \operatorname{Adj} A=\frac{1}{\operatorname{det} \mathrm{A }}(\operatorname{Cof} \mathrm{A})^{\mathrm{T}}
$$

图论代考

自然数 $\mathbb{N}$ 由数字 $\{1,2,3, \ldots\}$ 组成。整数 $\mathbb{Z}$ 由 $\{\ldots-2,-1,0,1,2, \ldots\}$ 组成。有理数 $\mathbb{Q}$ 由 $\left\{{ }^{p} /_{q}\right.$ 形式的所有数字组成，其中 $p$ 和 $q$ 是整数，$ \left.q \neq 0\right\}$。实数 $\mathbb{R}$ 被定义为有理数收敛序列的集合，它们是有理数的超集。它们包含有理数和无理数。复数 $\mathbb{C}$ 由 $\{a+bi$ 形式的所有数字组成，其中 $a, b \in \mathbb{R}$ 和 $i=\sqrt{-} 1\}美元。毕达哥拉斯三元组（图 3.2）是满足毕达哥拉斯方程 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 的三个整数的组合。有无数个这样的三元组，这种三元组的一个例子是 $3,4,5$，因为 $3^{2}+4^{2}=5^{2}$。毕达哥拉斯学派发现了音乐和数字之间的数学关系，他们的哲学是数字隐藏在从音乐到科学和自然的一切事物中。这导致了他们的哲学，即“一切都是数字”。

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Cryptosystem
A system that describes how to encrypt or decrypt messages
Plaintext
Message in its original form
Ciphertext
Message in its encrypted form
Cryptographer
Invents encryption algorithms
Cryptanalyst
Breaks encryption algorithms or implementations

编码理论代写

编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。

编码共分四类：^[1]