数学代写代考| Horner’s Method for Polynomials 离散数学代写 - 代考代写：100%准时可靠您的作业代写专家

Horner’s method is a computationally efficient way to evaluate a polynomial function. It is named after William Horner who was a nineteenth-century British mathematician and schoolmaster. Chinese mathematicians were familiar with the method in the third century A.D.

The normal method for the evaluation of a polynomial involves computing exponentials, and this is computationally expensive. Horner’s method has the advantage that fewer calculations are required, and it eliminates all exponentials by using nested multiplication and addition. It also provides a computationally efficient way to determine the derivative of the polynomial.
Horner’s Method and Algorithm
Consider a polynomial $P(x)$ of degree $n$ defined by
$$
P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}+\cdots+a_{1} x+a_{0}
$$
The Horner method to evaluate $P\left(x_{0}\right)$ essentially involves writing $P(x)$ as
$P(x)=\left(\left(\left(a_{n} x+a_{n-1}\right) x+a_{n-2}\right) x+\cdots+a_{1}\right) x+a_{0} .$ The computation of $P\left(x_{0}\right)$ involves defining a set of coefficients $b_{k}$ such that
$$
\begin{aligned}
&b_{n}=a_{n} \
&b_{n-1}=a_{n-1}+b_{n} x_{0} \
&\cdots \
&b_{k}=a_{k}+b_{k+1} x_{0} \
&\cdots \
&b_{1}=a_{1}+b_{2} x_{0} \
&b_{0}=a_{0}+b_{1} x_{0} .
\end{aligned}
$$
Then the computation of $P\left(x_{0}\right)$ is given by
$Q(x)=b_{n} x^{n-1}+b_{n-1} x^{n-2}+b_{n-2} x^{n-3}+\ldots+b_{0}$
$Q(x)=b_{n} x^{n-1}+b_{n-1} x^{n-2}+b_{n-2} x^{n-3}+\ldots \ldots+b_{1}$, then it is easy to verify that
$$
P(x)=\left(x-x_{0}\right) Q(x)+b_{0}
$$
This also allows the derivative of $P(x)$ to be easily computed for $x_{0}$ since
$$
\begin{aligned}
P I(x) &=Q(x)+\left(x-x_{0}\right) Q \prime(x) \
P \prime\left(x_{0}\right) &=Q\left(x_{0}\right)
\end{aligned}
$$
Algorithm (To evaluate polynomial and its derivative)
(i) Initialize $y$ to $a_{n}$ and $z$ to $a_{n}$ (compute $b_{n}$ for $\mathrm{P}$ and $b_{n-1}$ for Q);
(ii) For each $j$ from $n-1, n-2$ to 1 , compute $b_{j}$ for $\mathrm{P}$ and $b_{j-1}$ for $\mathrm{Q}$ by setting $y$ to $x_{0} y+a_{j}$ (i.e. $b_{j}$ for P) and $z$ to $x_{0} z+y$ (i.e. $b_{j-1}$ for Q).
(iii) Compute $b_{0}$ by setting $y$ to $x_{0} y+a_{0}$.
Then $P\left(x_{0}\right)=y$ and $P I\left(x_{0}\right)=z$.

Horner 方法是一种计算多项式函数的高效计算方法。它以十九世纪英国数学家和校长威廉霍纳的名字命名。中国数学家在公元三世纪就熟悉这种方法。

评估多项式的常规方法涉及计算指数，这在计算上是昂贵的。 Horner 方法的优点是需要较少的计算，并且它通过使用嵌套乘法和加法消除了所有指数。它还提供了一种计算有效的方法来确定多项式的导数。
霍纳的方法和算法
考虑由以下定义的次数为 $n$ 的多项式 $P(x)$
$$
P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}+\cdots+a_{1} x+a_{0}
$$
评估 $P\left(x_{0}\right)$ 的 Horner 方法本质上涉及将 $P(x)$ 写为
$P(x)=\left(\left(\left(a_{n} x+a_{n-1}\right) x+a_{n-2}\right) x+\cdots+a_{1}\ right) x+a_{0} .$ $P\left(x_{0}\right)$ 的计算涉及定义一组系数 $b_{k}$ 使得
$$
\开始{对齐}
&b_{n}=a_{n} \
&b_{n-1}=a_{n-1}+b_{n} x_{0} \
&\cdots \
&b_{k}=a_{k}+b_{k+1} x_{0} \
&\cdots \
&b_{1}=a_{1}+b_{2} x_{0} \
&b_{0}=a_{0}+b_{1} x_{0} .
\end{对齐}
$$
然后 $P\left(x_{0}\right)$ 的计算由下式给出
$Q(x)=b_{n} x^{n-1}+b_{n-1} x^{n-2}+b_{n-2} x^{n-3}+\ldots+b_ {0}$
$Q(x)=b_{n} x^{n-1}+b_{n-1} x^{n-2}+b_{n-2} x^{n-3}+\ldots \ldots +b_{1}$，那么很容易验证
$$
P(x)=\left(x-x_{0}\right) Q(x)+b_{0}
$$
这也使得 $P(x)$ 的导数可以很容易地计算 $x_{0}$，因为
$$
\开始{对齐}
P I(x) &=Q(x)+\left(x-x_{0}\right) Q \prime(x) \
P \prime\left(x_{0}\right) &=Q\left(x_{0}\right)
\end{对齐}
$$
算法（评估多项式及其导数）
(i) 将 $y$ 初始化为 $a_{n}$ 并将 $z$ 初始化为 $a_{n}$ （计算 $b_{n}$ 为 $\mathrm{P}$ 和 $b_{n-1}$ Q);
(ii) 对于从 $n-1, n-2$ 到 1 的每个 $j$，计算 $\mathrm{P}$ 的 $b_{j}$ 和 $\mathrm{ 的 $b_{j-1}$ Q}$ 通过将 $y$ 设置为 $x_{0} y+a_{j}$（即 P 的 $b_{j}$）和 $z$ 设置为 $x_{0} z+y$（即 $b_ {j-1}$ 为 Q）。
(iii) 通过将 $y$ 设置为 $x_{0} y+a_{0}$ 来计算 $b_{0}$。
那么 $P\left(x_{0}\right)=y$ 和 $P I\left(x_{0}\right)=z$。

图论代考

排列是给定数量的对象的排列，一次取其中的一些或全部。组合是对多个对象的选择，其中选择的顺序并不重要。排列和组合是根据第 1 章中定义的阶乘函数定义的。 4.
计数原理
(a) 假设一个操作有 $m$ 个可能的结果，而第二个操作有 $n$ 个可能的结果，那么执行第一个操作后执行第二个操作时可能结果的总数是 $m \times n$ (Product Rule )。
(b) 假设一个操作有 $m$ 个可能的结果，而第二个操作有 $n$ 个可能的结果，那么第一个操作或第二个操作的可能结果总数由 $m+n$ 给出（求和规则） .
示例（计数原理 $(a)$ ）
假设掷骰子，然后掷硬币。有多少种不同的结果，它们是什么？
解决方案
掷骰子有六种可能的结果，$1,2,3,4,5$ 或 6，掷硬币有两种可能的结果，$\mathrm{H}$ 或 $\mathrm{ T}$。因此，结果的总数由乘积规则确定为 $6 \times 2=12$。结果由下式给出
$(1, \mathrm{H}),(2, \mathrm{H}),(3, \mathrm{H}),(4, \mathrm{H}),(5, \mathrm{H}) ,(6, \mathrm{H}),(1, \mathrm{~T}),(2, \mathrm{~T}),(3, \mathrm{~T}),(4, \mathrm{ ~T}),(5, \mathrm{~T}),(6, \mathrm{~T})$
示例（计数原理$(b)）$
假设掷骰子，如果数字是偶数，则掷硬币，如果是奇数，则第二次掷骰子。有多少种不同的结果？
解决方案
第一个实验涉及两个实验，涉及偶数和抛硬币。有 3 种可能的结果导致偶数和 2 种来自抛硬币的结果。因此，第一个实验有 $3 \times 2=6$ 的结果。

第二个实验涉及掷骰子和进一步掷骰子的奇数。掷骰子有 3 种可能的结果，导致奇数和 6 种结果。因此，第二个实验有 $3\times 6=18$ 的结果。
5.7 排列组合
97
最后，第一个实验有 6 个结果，第二个实验有 18 个结果，因此根据求和规则，总共有 $6+18=24$ 个结果。
鸽巢原理
鸽巢原则规定，如果将 $n$ 个项目放入 $m$ 个容器（其中 $n>m$），那么至少一个容器必须包含多个项目（图 5.1）。
示例（鸽洞原理）
(a) 假设有一组 367 人，那么必须至少有两个人的生日相同。

这很清楚，因为一年有 365 天（闰年有 366 天），所以一年最多有 366 个可能的生日。团体人数为 367 人，因此必须至少有两个人的生日相同。
(b) 假设有 102 名学生参加了一次考试（考试的结果是 0 到 100 之间的分数）。然后，至少有两名学生获得相同的分数。
这很清楚，因为测试有 101 种可能的结果（因为学生可能达到的分数介于 0 和 100 之间），并且班上有 102 名学生和 101 种可能的测试结果，那么必须至少有两名学生获得相同的分数。

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Cryptosystem
A system that describes how to encrypt or decrypt messages
Plaintext
Message in its original form
Ciphertext
Message in its encrypted form
Cryptographer
Invents encryption algorithms
Cryptanalyst
Breaks encryption algorithms or implementations

编码理论代写

编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。

编码共分四类：^[1]