数学代写代考| Matrix Operations 离散数学代写 - 代考代写：100%准时可靠您的作业代写专家

More general sets of linear equations may be solved with $m \times n$ matrices (i.e. a matrix with $m$ rows and $n$ columns) or square $n \times n$ matrices. In this section, we consider several matrix operations including addition, subtraction, multiplication of matrices, scalar multiplication and the transpose of a matrix.

The addition and subtraction of two matrices A, B is meaningful if and only if A and B have the same dimensions: i.e. they are both $m \times n$ matrices. In this case, $\mathrm{A}+\mathrm{B}$ is defined by adding the corresponding entries:
$$
(\mathrm{A}+\mathrm{B}){i j}=\mathrm{A}{i j}+\mathrm{B}{i j} . $$ The additive identity matrix for the square $n \times n$ matrices is denoted by 0 , where 0 is a $n \times n$ matrix whose entries are zero: i.e. $r{i j}=0$ for all $i, j$ where $1 \leq i \leq n$ and $1 \leq j \leq n$.
The scalar multiplication of a matrix A by a scalar $k$ is meaningful and the resulting matrix $k \mathrm{~A}$ is given by
$$
(k A){i j}=k \mathrm{~A}{i j} .
$$
The multiplication of two matrices A and B is meaningful if and only if the number of columns of $\mathrm{A}$ is equal to the number of rows of $\mathrm{B}$ (Fig. 8.2): i.e. $\mathrm{A}$ is an $m \times n$ matrix and $\mathrm{B}$ is a $n \times p$ matrix and the resulting matrix $\mathrm{AB}$ is a $m \times p$ matrix.
Let $\mathrm{A}=\left(a_{i j}\right)$ where $i$ ranges from 1 to $m$ and $j$ ranges from 1 to $n$, and let $\mathrm{B}=\left(b_{j l}\right)$ where $j$ ranges from 1 to $n$ and $l$ ranges from 1 to $p$. Then, $\mathrm{AB}$ is given by ( $c_{i l}$ ) where $i$ ranges from 1 to $m$ and $l$ ranges from 1 to $p$ with $c_{i l}$ given by
$$
c_{i l}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} b_{k l} .
$$
That is, the entry $\left(c_{i l}\right)$ is given by multiplying the $i^{\text {th }}$ row in A by the $l^{\text {th }}$ column in B followed by a summation. Matrix multiplication is not commutative: i.e. $\mathrm{AB} \neq \mathrm{BA}$.

The identity matrix I is a $n \times n$ matrix and the entries are given by $r_{i j}$ where $r_{i i}=1$ and $r_{i j}=0$ where $i \neq j$ (Fig. 8.3). A matrix that has non-zero entries only on the diagonal is termed a diagonal matrix. A triangular matrix is a square matrix in which all the entries above or below the main diagonal are zero. A matrix is an upper triangular matrix if all entries below the main diagonal are zero, and lower triangular if all of the entries above the main diagonal are zero. Upper triangular triangular if all of the entries above the main diagonal are zero. Upper triangular and lower triangular matrices form a subalgebra of the algebra of square matrices. A key property of the identity matrix is that for all $n \times n$ matrices A we have

更一般的线性方程组可以用 $m \times n$ 矩阵（即具有 $m$ 行和 $n$ 列的矩阵）或平方 $n \times n$ 矩阵来求解。在本节中，我们考虑了几种矩阵运算，包括矩阵的加法、减法、乘法、标量乘法和矩阵的转置。

当且仅当 A 和 B 具有相同的维度时，两个矩阵 A、B 的加法和减法才有意义：即它们都是 $m \times n$ 矩阵。在这种情况下，$\mathrm{A}+\mathrm{B}$ 是通过添加相应的条目来定义的：
$$
(\mathrm{A}+\mathrm{B}){i j}=\mathrm{A}{i j}+\mathrm{B}{i j} 。 $$ 平方 $n \times n$ 矩阵的加性单位矩阵由 0 表示，其中 0 是一个 $n \times n$ 矩阵，其条目为零：即 $r{ij}=0$ 对于所有 $i, j $ 其中 $1 \leq i \leq n$ 和 $1 \leq j \leq n$。
矩阵 A 与标量 $k$ 的标量乘法是有意义的，得到的矩阵 $k \mathrm{~A}$ 由下式给出
$$
(k A){i j}=k \mathrm{~A}{i j} 。
$$
当且仅当 $\mathrm{A}$ 的列数等于 $\mathrm{B}$ 的行数时，两个矩阵 A 和 B 的相乘才有意义（图 8.2）：即 $\ mathrm{A}$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，$\mathrm{B}$ 是一个 $n \times p$ 矩阵，结果矩阵 $\mathrm{AB}$ 是一个 $m \times p$矩阵。
令 $\mathrm{A}=\left(a_{ij}\right)$ 其中 $i$ 的范围从 1 到 $m$，$j$ 的范围从 1 到 $n$，并且让 $\mathrm{B} =\left(b_{jl}\right)$ 其中 $j$ 的范围从 1 到 $n$，$l$ 的范围从 1 到 $p$。然后，$\mathrm{AB}$ 由 ($c_{il}$ ) 给出，其中 $i$ 的范围从 1 到 $m$，$l$ 的范围从 1 到 $p$，其中 $c_{il}$经过
$$
c_{i l}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} b_{k l} 。
$$
也就是说，条目 $\left(c_{il}\right)$ 是通过将 A 中的 $i^{\text {th }}$ 行乘以 $l^{\text {th }}$ 列给出的在 B 中，然后是总和。矩阵乘法不可交换：即 $\mathrm{AB} \neq \mathrm{BA}$。

单位矩阵 I 是一个 $n \times n$ 矩阵，条目由 $r_{ij}$ 给出，其中 $r_{ii}=1$ 和 $r_{ij}=0$ 其中 $i \neq j$ （图 8.3）。仅在对角线上具有非零元素的矩阵称为对角矩阵。三角矩阵是一个方阵，其中主对角线上方或下方的所有项都为零。如果主对角线以下的所有项都为零，则矩阵是上三角矩阵，如果主对角线以上的所有项都为零，则矩阵是下三角矩阵。如果主对角线上方的所有条目都为零，则为上三角三角形。上三角矩阵和下三角矩阵形成方阵代数的子代数。单位矩阵的一个关键性质是，对于所有 $n \times n$ 矩阵 A，我们有

图论代考

自然数 $\mathbb{N}$ 由数字 $\{1,2,3, \ldots\}$ 组成。整数 $\mathbb{Z}$ 由 $\{\ldots-2,-1,0,1,2, \ldots\}$ 组成。有理数 $\mathbb{Q}$ 由 $\left\{{ }^{p} /_{q}\right.$ 形式的所有数字组成，其中 $p$ 和 $q$ 是整数，$ \left.q \neq 0\right\}$。实数 $\mathbb{R}$ 被定义为有理数收敛序列的集合，它们是有理数的超集。它们包含有理数和无理数。复数 $\mathbb{C}$ 由 $\{a+bi$ 形式的所有数字组成，其中 $a, b \in \mathbb{R}$ 和 $i=\sqrt{-} 1\}美元。毕达哥拉斯三元组（图 3.2）是满足毕达哥拉斯方程 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 的三个整数的组合。有无数个这样的三元组，这种三元组的一个例子是 $3,4,5$，因为 $3^{2}+4^{2}=5^{2}$。毕达哥拉斯学派发现了音乐和数字之间的数学关系，他们的哲学是数字隐藏在从音乐到科学和自然的一切事物中。这导致了他们的哲学，即“一切都是数字”。

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Cryptosystem
A system that describes how to encrypt or decrypt messages
Plaintext
Message in its original form
Ciphertext
Message in its encrypted form
Cryptographer
Invents encryption algorithms
Cryptanalyst
Breaks encryption algorithms or implementations

编码理论代写

编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。

编码共分四类：^[1]