数学代写| Quadratic Equations 离散代考
离散数学在计算领域有广泛的应用，例如密码学、编码理论、 形式方法, 语言理论, 可计算性, 人工智能, 理论 数据库和软件的可靠性。 离散数学的重点是理论和应用，而不是为了数学本身而研究数学。 一切算法的基础都是离散数学一切加密的理论基础都是离散数学
编程时候很多奇怪的小技巧（特别是所有和位计算相关的东西）核心也是离散数学
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离散数学代写
$5.2$ Sequences and Series
A sequence $a_{1}, a_{2}, \ldots . a_{n} \ldots$ is any succession of terms (usually numbers), and we discussed the Fibonacci sequence earlier in Chap. 4. Each term in the Fibonacci sequence (apart from the first two terms) is obtained from the sum of the previous two terms in the sequence:
$$
1,1,2,3,5,8,13,21, \ldots
$$
89
(C) The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021
G. O’Regan, Guide to Discrete Mathematics, Texts in Computer Science,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-81588-2_5
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5 Sequences, Series, and Permutations and Combinations
A sequence may be finite (with a fixed number of terms) or infinite. The Fibonacci sequence is infinite whereas the sequence $2,4,6,8,10$ is finite. We distinguish between convergent and divergent sequences, where a convergent sequence approaches a certain value as $n$ gets larger and larger (technically, we say that $_{n \rightarrow \infty} \lim a_{n}$ exists (i.e. the limit of $a_{n}$ exists)). Otherwise, the sequence is said to be divergent.
Often, there is a mathematical expression for the $n$th term in a sequence (e.g. for the sequence of even integers $2,4,6,8, \ldots$ the general expression for $a_{n}$ is given by $a_{n}=2 n$ ). Clearly, the sequence of the even integers is divergent, as it does not approach a particular value, as $n$ gets larger and larger. Consider the following sequence:
$$
1,-1,1,-1,1,-1
$$
Then this sequence is divergent since it does not approach a certain value, as $n$ gets larger and larger, since it continues to alternate between 1 and $-1$. The formula for the $n$th term in the sequence may be given by.
$$
(-1)^{n+1}
$$
The sequence $1,1 / 2,1 / 3,1 / 4, \ldots 1 / n \ldots$ is convergent and it converges to 0 . The $n$th term in the sequence is given by $1 /_{n}$, and as $n$ gets larger and larger, it gets closer and closer to 0 .
A series is the sum of the terms in a sequence, and the sum of the first $n$ terms of the sequence $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n} \ldots$ is given by $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$, which is denoted by
$$
\sum_{k=1}^{n} a_{k}
$$
A series is convergent if its sum approaches a certain value $S$ as $n$ gets larger and larger, and this is written formally as
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \sum{k=1}^{n} a_{k}=\mathrm{S} .
$$
Otherwise, the series is said to be divergent.
$5.2$ 序列和系列
一个序列 $a_{1}, a_{2}, \ldots 。 a_{n} \ldots$ 是任何连续的项（通常是数字），我们在前面的章节中讨论了斐波那契数列。 4. 斐波那契数列中的每一项（除了前两项）都是从序列中前两项之和得到的：
$$
1,1,2,3,5,8,13,21, \ldots
$$
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(C) 作者，获得 Springer Nature Switzerland AG 2021 的独家许可
G. O’Regan，离散数学指南，计算机科学文本，
https://doi.org/10.1007/978-3-030-81588-2_5
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5 序列、系列、排列和组合
序列可能是有限的（具有固定数量的项）或无限的。斐波那契数列是无限的，而数列 $2,4,6,8,10$ 是有限的。我们区分收敛序列和发散序列，其中收敛序列随着 $n$ 变得越来越大而接近某个值（技术上，我们说 $_{n \rightarrow \infty} \lim a_{n}$ 存在（即存在 $a_{n}$ 的限制））。否则，称该序列是发散的。
通常，序列中的第 $n$ 项有一个数学表达式（例如，对于偶数序列 $2,4,6,8，\ldots$，$a_{n}$ 的一般表达式由 $ a_{n}=2 n$)。显然，偶数的序列是发散的，因为它不接近特定值，因为 $n$ 变得越来越大。考虑以下顺序：
$$
1,-1,1,-1,1,-1
$$
然后这个序列是发散的，因为它没有接近某个值，因为 $n$ 变得越来越大，因为它继续在 1 和 $-1$ 之间交替。序列中第 $n$ 项的公式可以由下式给出。
$$
(-1)^{n+1}
$$
序列 $1,1 / 2,1 / 3,1 / 4, \ldots 1 / n \ldots$ 是收敛的并且收敛到 0 。序列中的第 $n$ 项由 $1 /_{n}$ 给出，并且随着 $n$ 越来越大，它越来越接近 0 。
一个系列是一个序列中各项的总和，序列 $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n} \ldots$ 的前 $n$ 项的总和由 $a_ 给出{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$，记为
$$
\sum_{k=1}^{n} a_{k}
$$
如果随着 $n$ 越来越大，一个级数的总和接近某个值 $S$，则该级数是收敛的，这正式写为
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \sum{k=1}^{n} a_{k}=\mathrm{S} 。
$$
否则，该系列被称为发散的。
图论代考
排列是给定数量的对象的排列，一次取其中的一些或全部。组合是对多个对象的选择，其中选择的顺序并不重要。排列和组合是根据第 1 章中定义的阶乘函数定义的。 4.
计数原理
(a) 假设一个操作有 $m$ 个可能的结果，而第二个操作有 $n$ 个可能的结果，那么执行第一个操作后执行第二个操作时可能结果的总数是 $m \times n$ (Product Rule )。
(b) 假设一个操作有 $m$ 个可能的结果，而第二个操作有 $n$ 个可能的结果，那么第一个操作或第二个操作的可能结果总数由 $m+n$ 给出（求和规则） .
示例（计数原理 $(a)$ ）
假设掷骰子，然后掷硬币。有多少种不同的结果，它们是什么？
解决方案
掷骰子有六种可能的结果，$1,2,3,4,5$ 或 6，掷硬币有两种可能的结果，$\mathrm{H}$ 或 $\mathrm{ T}$。因此，结果的总数由乘积规则确定为 $6 \times 2=12$。结果由下式给出
$(1, \mathrm{H}),(2, \mathrm{H}),(3, \mathrm{H}),(4, \mathrm{H}),(5, \mathrm{H}) ,(6, \mathrm{H}),(1, \mathrm{~T}),(2, \mathrm{~T}),(3, \mathrm{~T}),(4, \mathrm{ ~T}),(5, \mathrm{~T}),(6, \mathrm{~T})$
示例（计数原理$(b)）$
假设掷骰子，如果数字是偶数，则掷硬币，如果是奇数，则第二次掷骰子。有多少种不同的结果？
解决方案
第一个实验涉及两个实验，涉及偶数和抛硬币。有 3 种可能的结果导致偶数和 2 种来自抛硬币的结果。因此，第一个实验有 $3 \times 2=6$ 的结果。
第二个实验涉及掷骰子和进一步掷骰子的奇数。掷骰子有 3 种可能的结果，导致奇数和 6 种结果。因此，第二个实验有 $3\times 6=18$ 的结果。
5.7 排列组合
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最后，第一个实验有 6 个结果，第二个实验有 18 个结果，因此根据求和规则，总共有 $6+18=24$ 个结果。
鸽巢原理
鸽巢原则规定，如果将 $n$ 个项目放入 $m$ 个容器（其中 $n>m$），那么至少一个容器必须包含多个项目（图 5.1）。
示例（鸽洞原理）
(a) 假设有一组 367 人，那么必须至少有两个人的生日相同。
这很清楚，因为一年有 365 天（闰年有 366 天），所以一年最多有 366 个可能的生日。团体人数为 367 人，因此必须至少有两个人的生日相同。
(b) 假设有 102 名学生参加了一次考试（考试的结果是 0 到 100 之间的分数）。然后，至少有两名学生获得相同的分数。
这很清楚，因为测试有 101 种可能的结果（因为学生可能达到的分数介于 0 和 100 之间），并且班上有 102 名学生和 101 种可能的测试结果，那么必须至少有两名学生获得相同的分数。
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抽象代数代考
抽象代数就是一门概念繁杂的学科，我们最重要的一点我想并不是掌握多少例子。即便是数学工作者也不会刻意记住Jacobson环、正则环这类东西，重要的是你要知道这门学科的基本工具和基本手法，对概念理解了没有，而这一点不需要用例子来验证，只需要看看你的理解和后续概念是否相容即可。
矩阵论代考matrix theory
数学，矩阵理论是一门研究矩阵在数学上的应用的科目。矩阵理论本来是线性代数的一个小分支，但其后由于陆续在图论、代数、组合数学和统计上得到应用，渐渐发展成为一门独立的学科。
密码学代考
密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。 研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学。 电报最早是由美国的摩尔斯在1844年发明的，故也被叫做摩尔斯电码。
- Cryptosystem
- A system that describes how to encrypt or decrypt messages
- Plaintext
- Message in its original form
- Ciphertext
- Message in its encrypted form
- Cryptographer
- Invents encryption algorithms
- Cryptanalyst
- Breaks encryption algorithms or implementations
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
