数学代写|The Generalized Simplicity Hypothesis 数论代考
数论代考
The proof of Theorem $5.2 .2$ now allows us to understand what is needed for the next step, which we take to be the explicit determination of the random variable $\mathrm{N}{q}$. Indeed, the proof tells us that $N{q}$ is the limit, as $T \rightarrow+\infty$, of the random variables that are themselves the limits in law as $X \rightarrow+\infty$ of the random function given by the finite sum
$$
m_{q}-\sum_{\chi(\bmod q)}^{} \sum_{\substack{\left.1 \frac{1}{2}+i \gamma, \chi\right)=0 \|\gamma| \leqslant \mathrm{T}}} \frac{\mathrm{I}{\mathrm{X}}^{i \gamma}}{\frac{1}{2}+i \gamma} \overline{\chi(a)} $$ which converge by Proposition 5.3.3. The proof of that proposition shows how this limit $\mathrm{N}{q, T}$ can be computed in principle. Precisely, let $X_{T}$ be the set of pairs $(\chi, \gamma)$, where $\chi$ runs over non-trivial Dirichlet characters modulo $q$ and $\gamma$ runs over the ordinates of the non-trivial zeros of $\mathrm{L}(s, \chi)$ with $|\gamma| \leqslant \mathrm{T}$. Then, by Corollary 5.3.4, we have
$$
\mathrm{N}{q, \mathrm{~T}}=m{q}-\sum_{\chi(\bmod q)}^{} \sum_{\mathrm{L}\left(\frac{1}{2}+i \gamma, \chi\right)=0} \frac{\mathrm{I}{\chi, \gamma}}{\frac{1}{2}+i \gamma} \overline{\chi(a)} $$ where $\left(\mathrm{I}{\chi, \gamma}\right)$ is distributed on $\left(\mathrm{S}^{1}\right)^{\mathrm{X}{\mathrm{T}}}$ according to the probability Haar measure of the closure $\mathrm{S}{\mathrm{T}}$ of the subgroup generated by the elements $\left(x^{i \gamma}\right){(\chi, \gamma) \in \mathrm{X}{\mathrm{T}}}$ for $x \in \mathbf{R}$.
Thus, to compute $\mathrm{N}{q}$ explicitly, we “simply” need to know what the subgroup $\mathrm{S}{q, T}$ is. If (hypothetically) this subgroup was equal to $\left(\mathrm{S}^{1}\right)^{\mathrm{X}{q, \mathrm{~T}}}$, then the $\left(\mathrm{I}{\chi, \gamma}\right)$ would simply be independent and uniformly distributed on $\mathrm{S}^{1}$, and we would immediately obtain a formula for $\mathrm{N}_{q}$ from (5.16) as a sum of a series of independent terms.
This hypothesis is however too optimistic. Indeed, there is an “obvious” type of dependency among the ordinates $\gamma$, which amount to restrictions on the subgroup $\mathrm{S}{\mathrm{T}}$ in $\left(\mathbf{S}^{1}\right)^{\mathrm{X}{\mathrm{T}}}$. Beyond these relations, there are none that are immediately apparent. The Generalized Simplicity Hypothesis modulo $q$ is then the statement that, in fact, these obvious relations should exhaust all possible constraints satisfied by $\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \cdot{ }^{3}$
These systematic relations between the elements of $X_{T}$ are simply the following: a complex number $\frac{1}{2}+i \gamma$ is a zero of $\mathrm{L}(s, \chi)$ if and only if the conjugate $\frac{1}{2}-i \gamma$ is a zero of $\mathrm{L}(s, \bar{\chi})$, simply because $\overline{\mathrm{L}(\bar{s}, \chi)}=\mathrm{L}(s, \bar{\chi})$ as holomorphic functions; hence $(\chi, \gamma)$ belongs to $\mathrm{X}_{\mathrm{T}}$ if and only if $(\bar{\chi},-\gamma)$ does.
We are therefore led to the so-called Generalized Simplicity Hypothesis modulo $q$.
DeFINITION 5.4.1. Let $q \geqslant 1$ be an integer. The Generalized Simplicity Hypothesis holds modulo $q$ if the family of non-negative ordinates $\gamma$ of the non-trivial zeros of all nontrivial Dirichlet L-functions modulo $q$, with multiplicity taken into account, is linearly independent over $\mathrm{Q}$.
We emphasize that we are looking at the family of the ordinates, not just the set of values. In particular, the Generalized Simplicity Hypothesis modulo $q$ implies that
${ }^{3}$ In other words, it is an application of Occam’s Razor.
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- for a given $\gamma \geqslant 0$, there is at most one primitive Dirichlet character $\chi$ modulo $q$ such that $\mathrm{L}\left(\frac{1}{2}+i \gamma, \chi\right)=0$,
- all non-trivial zeros are of multiplicity 1 ,
- we have $\mathrm{L}\left(\frac{1}{2}, \chi\right) \neq 0$ for any non-trivial character $\chi$.
All these statements are highly non-trivial conjectures!
LEMMA 5.4.2. Under the assumption of the Generalized Simplicity Hypothesis modulo $q$, the subgroup $\mathrm{S}{\mathrm{T}}$ is given by for all $\mathrm{T} \geqslant 2$. In particular, denoting by $\mathrm{X}{\mathrm{T}}^{+}$the set of pairs $(\chi, \gamma)$ in $\mathrm{X}{\mathrm{T}}$ rojection $(5.18)$ from $\mathrm{S}{\mathrm{T}}$ to $\left.\left(\mathrm{S}^{1}\right)^{\mathrm{X}{\mathrm{T}}^{+}}\right)$is surjective. Proof. Indeed, $\mathrm{S}{\mathrm{T}}$ is contained in the subgroup $\widetilde{\mathrm{S}}{\mathrm{T}}$ in the right-hand side of (5.17), because each vector $\left(x^{i \gamma}\right){(\chi, \gamma) \in \mathrm{X}_{\mathrm{T}}}$ has this property for $x \in \mathrm{R}$, by the relation between zeros of the L-functions of $\chi$ and $\bar{\chi}$.
To show that $\mathrm{S}{\mathrm{T}}$ is not a proper subgroup of $\widetilde{\mathrm{S}}{\mathrm{T}}$, it is enough to prove the last assertion, since an element of $\widetilde{\mathrm{S}}{\mathrm{T}}$ is uniquely determined by the value of the projection (5.18). But if that projection is not surjective, then there exists a non-zero family of integers $\left(m{\chi, \gamma}\right){(\chi, \gamma) \in \mathrm{X}{\mathrm{T}}^{+}}$such that
$$
\prod_{(\chi, \gamma) \in \mathrm{X}{\mathrm{T}}^{+}} x^{i m{\chi, \gamma} \gamma}=1
$$
定理 $5.2 .2$ 的证明现在使我们能够理解下一步需要什么，我们将其视为随机变量 $\mathrm{N}{q}$ 的显式确定。事实上，证明告诉我们 $N{q}$ 是随机变量的极限，如 $T \rightarrow+\infty$，这些随机变量本身就是给定随机函数的 $X \rightarrow+\infty$ 的法律极限由有限和
$$
m_{q}-\sum_{\chi(\bmod q)}^{} \sum_{\substack{\left.1 \frac{1}{2}+i \gamma, \chi\right)=0 \|\伽玛| \leqslant \mathrm{T}}} \frac{\mathrm{I}{\mathrm{X}}^{i \gamma}}{\frac{1}{2}+i \gamma} \overline{\智（一）} $$ 由命题 5.3.3 收敛。该命题的证明显示了这个极限 $\mathrm{N}{q, T}$ 原则上是如何计算的。准确地说，令 $X_{T}$ 是对 $(\chi, \gamma)$ 的集合，其中 $\chi$ 运行在以 $q$ 为模的非平凡狄利克雷字符上，而 $\gamma$ 运行在$\mathrm{L}(s, \chi)$ 与 $|\gamma| 的非平凡零\leqslant \mathrm{T}$。然后，由推论 5.3.4，我们有
$$
\mathrm{N}{q, \mathrm{~T}}=m{q}-\sum_{\chi(\bmod q)}^{} \sum_{\mathrm{L}\left(\frac {1}{2}+i \gamma, \chi\right)=0} \frac{\mathrm{I}{\chi, \gamma}}{\frac{1}{2}+i \gamma} \overline{\chi(a)} $$ 其中 $\left(\mathrm{I}{\chi, \gamma}\right)$ 分布在 $\left(\mathrm{S}^{1}\right)^{\mathrm{X}{ \mathrm{T}}}$ 根据元素 $\left(x^{i \gamma} \right){(\chi, \gamma) \in \mathrm{X}_{\mathrm{T}}}$ 为 $x \in \mathbf{R}$。
因此，要明确计算 $\mathrm{N}{q}$，我们“简单地”需要知道子群 $\mathrm{S}{q, T}$ 是什么。如果（假设地）这个子群等于 $\left(\mathrm{S}^{1}\right)^{\mathrm{X}{q, \mathrm{~T}}}$，那么 $\ left(\mathrm{I}{\chi, \gamma}\right)$ 将简单地独立且均匀分布在 $\mathrm{S}^{1}$ 上，我们将立即得到 $\mathrm 的公式来自 (5.16) 的 {N}_{q}$ 作为一系列独立项的总和。
然而，这个假设过于乐观。实际上，纵坐标 $\gamma$ 之间存在一种“明显的”依赖类型，这相当于限制 $\left(\mathbf{S 中的子群 $\mathrm{S}{\mathrm{T}}$) }^{1}\right)^{\mathrm{X}{\mathrm{T}}}$。除了这些关系之外，没有任何关系是立即显而易见的。广义简单假设模 $q$ 是这样的陈述，事实上，这些明显的关系应该穷尽 $\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \cdot{ }^{3}$ 满足的所有可能约束
$X_{T}$ 的元素之间的这些系统关系简单如下：复数 $\frac{1}{2}+i \gamma$ 是 $\mathrm{L}(s, \chi )$ 当且仅当共轭 $\frac{1}{2}-i \gamma$ 是 $\mathrm{L}(s, \bar{\chi})$ 的零，因为 $\overline{ \mathrm{L}(\bar{s}, \chi)}=\mathrm{L}(s, \bar{\chi})$ 作为全纯函数；因此 $(\chi, \gamma)$ 属于 $\mathrm{X}_{\mathrm{T}}$ 当且仅当 $(\bar{\chi},-\gamma)$ 属于。
因此，我们引出了所谓的广义简单假设模$q$。
定义 5.4.1。令 $q \geqslant 1$ 为整数。如果考虑多重性的所有非平凡狄利克雷 L 函数的非平凡零点的非平凡零的非负纵坐标族 $\gamma$ 对模 $q$ 为模，广义简单性假设成立，考虑到多重性，在 $ \mathrm{Q}$。
我们强调我们正在查看坐标系，而不仅仅是一组值。特别是，广义简单性假设模 $q$ 意味着
${ }^{3}$ 换句话说，它是奥卡姆剃刀的一个应用。
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- 对于给定的 $\gamma \geqslant 0$，最多有一个原始狄利克雷字符 $\chi$ 模 $q$ 使得 $\mathrm{L}\left(\frac{1}{2}+i \伽玛, \chi\right)=0$,
- 所有非平凡零都具有多重性 1 ，
- 对于任何非平凡字符 $\chi$，我们有 $\mathrm{L}\left(\frac{1}{2}, \chi\right) \neq 0$。
所有这些陈述都是非常重要的猜想！
引理 5.4.2。在广义简单假设模 $q$ 的假设下，子群 $\mathrm{S}{\mathrm{T}}$ 由下式给出 对于所有 $\mathrm{T} \geqslant 2$。特别地，用 $\mathrm{X}{\mathrm{T}}^{+}$ 表示 $\mathrm{X}{\mathrm{T 中的对集合 $(\chi, \gamma)$ }}$ 投影 $(5.18)$ 从 $\mathrm{S}{\mathrm{T}}$ 到 $\left.\left(\mathrm{S}^{1}\right)^{\mathrm{ X}{\mathrm{T}}^{+}}\right)$ 是满射的。 证明。实际上，$\mathrm{S}{\mathrm{T}}$ 包含在 (5.17) 右侧的子群 $\widetilde{\mathrm{S}}{\mathrm{T}}$ 中)，因为每个向量 $\left(x^{i \gamma}\right){(\chi, \gamma) \in \mathrm{X}_{\mathrm{T}}}$ 对于 $ x \in \mathrm{R}$，由 $\chi$ 和 $\bar{\chi}$ 的 L-函数的零点之间的关系。
为了证明 $\mathrm{S}{\mathrm{T}}$ 不是 $\widetilde{\mathrm{S}}{\mathrm{T}}$ 的真子群，证明最后一个断言，因为 $\ 的一个元素
数论代写
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
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在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。
数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。
计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
