数学代写|Perturbation and convergence in law 数论代考
数论代考
As we suggested in Section 1.2, we will often prove convergence in law of the sequences of random variables that interest us by showing that they are obtained by “perturbation” of other sequences that are more accessible. In this section, we explain how to handle some of these perturbations.
A very useful tool for this purpose is the following property, which is a first example of reducing the proof of convergence in law to more regular test functions than all bounded continuous functions.
Let $\mathrm{M}$ be a metric space, with distance $d$. Recall $\mid$ that a continuous function $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{C}$ is said to be a Lipschitz function if there exists a real number $\mathrm{C} \geqslant 0$ such that
$$
|f(x)-f(y)| \leqslant \mathrm{C} d(x, y)
$$
for all $(x, y) \in \mathrm{M} \times \mathrm{M}$. We then say that $\mathrm{C}$ is a Lipschitz constant for $f$ (it is, of course, not unique).
Proposition B.4.1. Let M be a complete separable metric space. Let $\left(\mathrm{X}{n}\right)$ be a sequence of $\mathrm{M}$-valued random variables, and $\mu$ a probability measure on $\mathrm{M}$. Then $\mathrm{X}{n}$ converges in law to $\mu$ if and only if we have
$$
\mathbf{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}\right)\right) \rightarrow \int{\mathrm{M}} f(x) d \mu(x)
$$
for all bounded Lipschitz functions $f: \mathrm{M} \longrightarrow \mathrm{C}$.
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In other words, it is enough to prove the convergence property (B.2) for Lipschitz test functions.
PROOF. A classical argument shows that convergence in law of $\left(\mathrm{X}{n}\right)$ to $\mu$ is equivalent to $$ \mu(\mathrm{F}) \geqslant \limsup {n \rightarrow+\infty} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{n} \in \mathrm{F}\right)
$$
for all closed subsets $\mathrm{F}$ of $\mathrm{M}$ (see, e.g., [10, Th. 2.1, (iii)]).
However, the proof that convergence in law implies this property uses only Lipschitz test functions $f$ (see for instance $[10$, (ii) $\Rightarrow$ (iii), p. 16 , and (1.1), p. 8], where it is only stated that the relevant functions $f$ are uniformly continuous, but this is shown by checking that they are Lipschitz). Hence the assumption that (B.2) holds for Lipschitz functions implies (B.3) for all closed subsets F, and consequently it implies convergence in law.
We can now deduce various corollaries concerning perturbation of sequences that converge in law.
The first result along these lines is quite standard, and the second is a bit more ad-hoc, but will be convenient in Chapter 6 .
COROLLARY B.4.2. Let $\mathrm{M}$ be a separable Banach space. Let $\left(\mathrm{X}{n}\right)$ and $\left(\mathrm{Y}{n}\right)$ be sequences of M-valued random variables. Assume that the sequence $\left(\mathrm{X}_{n}\right)$ converges in law to a random variable $\mathrm{X}$.
If the sequence $\left(\mathrm{Y}{n}\right)$ converges in probability to 0 , or if $\left(\mathrm{Y}{n}\right)$ converges to 0 in $\mathrm{L}^{p}$ for some fixed $p \geqslant 1$, with the possibility that $p=+\infty$, then the sequence $\left(\mathrm{X}{n}+\mathrm{Y}{n}\right)_{n}$ converges in law to $\mathrm{X}$ in $\mathrm{M}$.
Proof. Let $f: \mathrm{M} \longrightarrow \mathrm{C}$ be a bounded Lipschitz continuous function, and $\mathrm{C}$ a Lipschitz constant of $f$. For any $n$, we have
(B.4) $\begin{aligned}\left|\mathrm{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}+\mathrm{Y}{n}\right)\right)-\mathbf{E}(f(\mathrm{X}))\right| \leqslant\left|\mathrm{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}+\mathrm{Y}{n}\right)\right)-\mathrm{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}\right)\right)\right| \ &+\left|\mathrm{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}\right)\right)-\mathrm{E}(f(\mathrm{X}))\right| \end{aligned}$
First assume that $\left(\mathrm{Y}{n}\right)$ converges to 0 in $\mathrm{L}^{p}$, and that $p<+\infty$. Then we obtain $$ \begin{aligned} \left|\mathbf{E}\left(f\left(X{n}+Y_{n}\right)\right)-\mathbf{E}(f(\mathrm{X}))\right| & \leqslant \mathrm{C} \mathbf{E}\left(\left|\mathrm{Y}{n}\right|\right)+\left|\mathbf{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}\right)\right)-\mathbf{E}(f(\mathrm{X}))\right| \
& \leqslant \mathrm{C} \mathbf{E}\left(\left|\mathrm{Y}{n}\right|^{p}\right)^{1 / p}+\left|\mathbf{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}\right)\right)-\mathrm{E}(f(\mathrm{X}))\right|
\end{aligned}
$$
which converges to 0 , hence $\left(\mathrm{X}{n}+\mathrm{Y}{n}\right)$ converges in law to $\mathrm{X}$. If $p=+\infty$, a similar argument, left to the reader, applies.
Suppose now that $\left(\mathrm{Y}{n}\right)$ converges to 0 in probability. Let $\varepsilon>0$. For $n$ large enough, the second term in (B.4) is $\leqslant \varepsilon$ since $X{n}$ converges in law to $X$. For the first, we fix another parameter $\delta>0$ and write
$$
\left|\mathrm{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}+\mathrm{Y}{n}\right)\right)-\mathrm{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}\right)\right)\right| \leqslant \mathrm{C} \delta+2|f|{\infty} \mathbf{P}\left(\left|\mathrm{Y}{n}\right|>\delta\right) $$ by separating the integral depending on whether $\left|Y{n}\right| \leqslant \delta$ or not. Take $\delta=\mathrm{C}^{-1} \varepsilon$, so the first term here is $\leqslant \varepsilon$. Then since $\left(\mathrm{Y}{n}\right)$ converges in probability to 0 , we have $$ 2|f|{\infty} \mathbf{P}\left(\left|\mathrm{Y}{n}\right|>\delta\right) \leqslant \varepsilon $$ for all $n$ large enough, and therefore $$ \left|\mathrm{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}+\mathrm{Y}_{n}\right)\right)-\mathbf{E}(f(\mathrm{X}))\right| \leqslant 3 \varepsilon
$$
正如我们在 1.2 节中所建议的，我们通常会通过证明我们感兴趣的随机变量序列是通过“扰动”其他更容易获得的序列获得的，来证明它们的收敛性。在本节中，我们将解释如何处理其中一些扰动。
用于此目的的一个非常有用的工具是以下属性，这是将法律收敛证明简化为比所有有界连续函数更规则的测试函数的第一个示例。
令 $\mathrm{M}$ 为度量空间，距离为 $d$。回想 $\mid$，如果存在实数 $\mathrm{C} \geqslant 0$，则称连续函数 $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{C}$ 是 Lipschitz 函数，使得
$$
|f(x)-f(y)| \leqslant \mathrm{C} d(x, y)
$$
对于所有 $(x, y) \in \mathrm{M} \times \mathrm{M}$。然后我们说 $\mathrm{C}$ 是 $f$ 的 Lipschitz 常数（当然，它不是唯一的）。
提案 B.4.1。令 M 为完全可分度量空间。令 $\left(\mathrm{X}{n}\right)$ 为 $\mathrm{M}$ 随机变量序列，$\mu$ 为 $\mathrm{M}$ 上的概率测度.那么 $\mathrm{X}{n}$ 收敛到 $\mu$ 当且仅当我们有
$$
\mathbf{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}\right)\right) \rightarrow \int{\mathrm{M}} f(x) d \mu(x)
$$
对于所有有界 Lipschitz 函数 $f: \mathrm{M} \longrightarrow \mathrm{C}$。
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换句话说，证明 Lipschitz 检验函数的收敛性 (B.2) 就足够了。
证明。一个经典论证表明，$\left(\mathrm{X}{n}\right)$ 到 $\mu$ 的收敛定律等价于 $$ \mu(\mathrm{F}) \geqslant \limsup {n \rightarrow+\infty} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{n} \in \mathrm{F}\right)
$$
对于 $\mathrm{M}$ 的所有封闭子集 $\mathrm{F}$（参见，例如，[10, Th. 2.1, (iii)]）。
然而，法律收敛的证明意味着该属性仅使用 Lipschitz 测试函数 $f$（参见例如 $[10$, (ii) $\Rightarrow$ (iii), p. 16 和 (1.1), p. 8]，其中仅说明相关函数 $f$ 是一致连续的，但这可以通过检查它们是否为 Lipschitz 来证明）。因此，(B.2) 对 Lipschitz 函数成立的假设意味着 (B.3) 对于所有封闭子集 F，因此它意味着法律收敛。
我们现在可以推断出关于规律收敛的序列的扰动的各种推论。
沿着这些思路的第一个结果是相当标准的，第二个结果有点特别，但在第 6 章会很方便。
推论 B.4.2。令 $\mathrm{M}$ 是一个可分离的 Banach 空间。令 $\left(\mathrm{X}{n}\right)$ 和 $\left(\mathrm{Y}{n}\right)$ 是 M 值随机变量的序列。假设序列 $\left(\mathrm{X}_{n}\right)$ 收敛于一个随机变量 $\mathrm{X}$。
如果序列 $\left(\mathrm{Y}{n}\right)$ 在概率上收敛到 0 ，或者如果 $\left(\mathrm{Y}{n}\right)$ 在 $ 中收敛到 0 \mathrm{L}^{p}$ 对于某个固定的 $p \geqslant 1$，有可能 $p=+\infty$，则序列 $\left(\mathrm{X}{n}+\ mathrm{Y}{n}\right)_{n}$ 在 $\mathrm{M}$ 中收敛于 $\mathrm{X}$。
证明。设 $f: \mathrm{M} \longrightarrow \mathrm{C}$ 是有界 Lipschitz 连续函数，$\mathrm{C}$ 是 $f$ 的 Lipschitz 常数。对于任何 $n$，我们有
(B.4) $\begin{对齐}\left|\mathrm{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}+\mathrm{Y}{n}\right)\right )-\mathbf{E}(f(\mathrm{X}))\right| \leqslant\left|\mathrm{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}+\mathrm{Y}{n}\right)\right)-\mathrm{E}\left (f\left(\mathrm{X}{n}\right)\right)\right| \ &+\left|\mathrm{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}\right)\right)-\mathrm{E}(f(\mathrm{X})) \对| \end{对齐}$
首先假设 $\left(\mathrm{Y}{n}\right)$ 在 $\mathrm{L}^{p}$ 中收敛到 0，并且 $p<+\infty$。然后我们得到 $$ \开始{对齐} \left|\mathbf{E}\left(f\left(X{n}+Y_{n}\right)\right)-\mathbf{E}(f(\mathrm{X}))\right| & \leqslant \mathrm{C} \mathbf{E}\left(\left|\mathrm{Y}{n}\right|\right)+\left|\mathbf{E}\left(f\left( \mathrm{X}{n}\right)\right)-\mathbf{E}(f(\mathrm{X}))\right| \
& \leqslant \mathrm{C} \mathbf{E}\left(\left|\mathrm{Y}{n}\right|^{p}\right)^{1 / p}+\left|\mathbf {E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}\right)\right)-\mathrm{E}(f(\mathrm{X}))\right|
\end{对齐}
$$
收敛到 0 ，因此 $\left(\mathrm{X}{n}+\mathrm{Y}{n}\right)$ 收敛到 $\mathrm{X}$。如果 $p=+\infty$，则留给读者的类似论点适用。
现在假设 $\left(\mathrm{Y}{n}\right)$ 收敛到 0 的概率。让$\varepsilon>0$。对于足够大的 $n$，(B.4) 中的第二项是 $\leqslant \vareppsilon$，因为 $X{n}$ 在规律上收敛于 $X$。首先，我们修复另一个参数 $\delta>0$ 并写入
$$
\left|\mathrm{E}\left(f\left(\mathrm{X}{n}+\mathrm{Y}{n}\right)\right)-\mathrm{E}\left(f \left(\mathrm{X}{n}\right)\right)\right| \leqslant \mathrm{C} \delta+2|f|{\infty} \mathbf{P}\left(\left|\mathrm{Y}_{n}\right|>\delta\right)
$$
根据 $\left|Y 是否分离积分
数论代写
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
其他相关科目课程代写：组合学Combinatorics集合论Set Theory概率论Probability组合生物学Combinatorial Biology组合化学Combinatorial Chemistry组合数据分析Combinatorial Data Analysis
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在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。
数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。
计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
