数学代写|The support of Bagchi’s measure 数论代考
数论代考
Our goal in this section is to explain the proof of Theorem 3.2.3, which is due to Bagchi [4, Ch. 5]. Since it involves results of complex analysis that are quite far from the main interest of this book, we will only treat in detail the part of the proof that involves arithmetic, giving references for the other results that are used.
The support is easiest to compute using the random Euler interpretation of the random Dirichet series, because it is essentially a sum of independent random variables. To be precise, define
$$
\mathrm{P}(s)=\sum_{p} \frac{\mathrm{X}{p}}{p^{s}}, \quad \tilde{\mathrm{P}}(s)=\sum{p} \sum_{k \geqslant 1} \frac{\mathrm{X}_{p}^{k}}{p^{k s}}
$$
(see the proof of Proposition 3.2.9). The series converge almost surely for $\operatorname{Re}(s)>1 / 2$. We claim that the support of the distribution of $\tilde{\mathrm{P}}$, when viewed as an $\mathrm{H}(\mathrm{D})$-valued random variable, is equal to $\mathrm{H}(\mathrm{D})$. Let us first assume this.
Since $\mathrm{Z}=\exp (\tilde{\mathrm{P}})$, we deduce by composition (see Lemma B.2.1) that the support of $\mathrm{Z}$ is the closure of the set of functions of the form $e^{g}$, where $g \in \mathrm{H}(\mathrm{D})$. But this last set is precisely $\mathrm{H}(\mathrm{D})^{\times}$, and Lemma A.5.5 in Appendix A shows that its closure in $\mathrm{H}(\mathrm{D})$ is $\mathrm{H}(\mathrm{D})^{\times} \cup{0}$.
Finally, to prove the approximation property (3.2), which is the original version of Voronin’s Universality Theorem, we simply apply Lemma B.3.3 to the family of random variables $\mathrm{Z}{\mathrm{T}}$, which gives the much stronger statement that for any $\varepsilon>0$, we have $$ \liminf {\mathrm{T} \rightarrow+\infty} \lambda\left(\left{t \in[-\mathrm{T}, \mathrm{T}]\left|\sup {s \in \mathrm{D}}\right| \zeta(s+i t)-f(s) \mid<\varepsilon\right}\right)>0 $$ where $\lambda$ denotes Lebesgue measure. From Proposition B.10.8 in Appendix B, the following proposition will imply that the support of the random Dirichlet series $\mathrm{P}$ is $\mathrm{H}(\mathrm{D})$. The statement is slightly more general to help with the last step afterwards. Proposition 3.3.1. Let $\tau$ be such that $1 / 2<\tau<1$. Let $r>0$ be such that $$ \mathrm{D}={s \in \mathbf{C}|| s-\tau \mid \leqslant r} \subset{s \in \mathrm{C} \mid 1 / 2<\operatorname{Re}(s)<1} $$ Let $\mathrm{N}$ be an arbitrary positive real number. The set of all series $$ \sum{p>\mathrm{N}} \frac{x_{p}}{p^{s}}, \quad \text { with } \quad\left(x_{p}\right) \in \widehat{\mathrm{S}}^{1}
$$
which converge in $\mathrm{H}(\mathrm{D})$ is dense in $\mathrm{H}(\mathrm{D})$.
We will deduce the proposition from the density criterion of Theorem A.5.1 in Appendix $\mathrm{A}$, applied to the space $\mathrm{H}(\mathrm{D})$ and the sequence $\left(f_{p}\right)$ with $f_{p}(s)=p^{-s}$ for $p$ prime. Since $\left|f_{p}\right|_{\infty}=p^{-\sigma_{1}}$, where $\sigma_{1}=\tau-r>1 / 2$, the condition
$$
\sum_{p}\left|f_{p}\right|_{\infty}^{2}<+\infty
$$
holds. Furthermore, Proposition $3.2 .9$ certainly shows that there exist some $\left(x_{p}\right) \in \widehat{\mathbf{S}}^{1}$ such that the series $\sum_{p} x_{p} f_{p}$ converges in $\mathrm{H}(\mathrm{D})$. Hence the conclusion of Theorem A.5.1
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is what we seek, and we only need to check the following lemma to establish the last hypothesis required to apply it:
LEMMA 3.3.2. Let $\mu \in \mathrm{C}(\overline{\mathrm{D}})^{\prime}$ be a continuous linear functional. Let
$$
g(z)=\mu\left(s \mapsto e^{s z}\right)
$$
be its Laplace transform. If
$$
\sum_{p}|g(\log p)|<+\infty
$$
then we have $g=0$.
Indeed, the point is that $\mu\left(f_{p}\right)=\mu\left(s \mapsto p^{-s}\right)=g(\log p)$, so that the assumption (3.13) concerning $g$ is precisely (A.3).
This is a statement that has some arithmetic content, as we will see, and indeed the proof involves the Prime Number Theorem.
PROOF. Let
$$
\varrho=\limsup _{r \rightarrow+\infty} \frac{\log |g(r)|}{r}
$$
which is finite by Lemma A.5.2 (1). By Lemma A.5.2 (3), it suffices to prove that $\varrho \leqslant 1 / 2$ to conclude that $g=0$. To do this, we will use Theorem A.5.3, that provides access to the value of $\varrho$ by “sampling” $g$ along certain sequences of real numbers tending to infinity.
我们在本节的目标是解释定理 3.2.3 的证明，这是由于 Bagchi [4, Ch. 5]。由于它涉及复杂分析的结果，与本书的主要兴趣相去甚远，因此我们将仅详细介绍证明中涉及算术的部分，并为使用的其他结果提供参考。
使用随机 Dirichet 级数的随机 Euler 解释最容易计算支持度，因为它本质上是独立随机变量的总和。准确地说，定义
$$
\mathrm{P}(s)=\sum_{p} \frac{\mathrm{X}{p}}{p^{s}}, \quad \波浪号{\mathrm{P}}(s)= \sum{p} \sum_{k \geqslant 1} \frac{\mathrm{X}_{p}^{k}}{p^{ks}}
$$
（见命题 3.2.9 的证明）。对于 $\operatorname{Re}(s)>1 / 2$，该级数几乎肯定会收敛。我们声称 $\tilde{\mathrm{P}}$ 的分布的支持，当被视为 $\mathrm{H}(\mathrm{D})$ 值的随机变量时，等于 $\mathrm {H}(\mathrm{D})$。让我们首先假设这一点。
由于 $\mathrm{Z}=\exp (\tilde{\mathrm{P}})$，我们通过组合（参见引理 B.2.1）推导出 $\mathrm{Z}$ 的支持是$e^{g}$ 形式的函数集，其中 $g \in \mathrm{H}(\mathrm{D})$。但是这最后一组恰好是 $\mathrm{H}(\mathrm{D})^{\times}$，附录 A 中的引理 A.5.5 表明它在 $\mathrm{H}(\mathrm{D })$ 是 $\mathrm{H}(\mathrm{D})^{\times} \cup{0}$。
最后，为了证明近似属性 (3.2)，它是 Voronin 普遍性定理的原始版本，我们简单地将引理 B.3.3 应用于随机变量族 $\mathrm{Z}{\mathrm{T}}$，这给出了更强有力的陈述，即对于任何 $\varepsilon>0$，我们有 $$ \liminf {\mathrm{T} \rightarrow+\infty} \lambda\left(\left{t \in[-\mathrm{T}, \mathrm{T}]\left|\sup {s \in \mathrm{D}}\right| \zeta(s+it)-f(s) \mid<\varepsilon\right}\right)>0 $$ 其中$\lambda$ 表示勒贝格测度。 根据附录 B 中的命题 B.10.8，以下命题将暗示随机狄利克雷级数 $\mathrm{P}$ 的支持度是 $\mathrm{H}(\mathrm{D})$。该语句稍微更笼统，以帮助之后的最后一步。 提案 3.3.1。令 $\tau$ 满足 $1 / 2<\tau<1$。令 $r>0$ 是这样的 $$ \mathrm{D}={s \in \mathbf{C}|| s-\tau \mid \leqslant r} \subset{s \in \mathrm{C} \mid 1 / 2<\operatorname{Re}(s)<1} $$ 令 $\mathrm{N}$ 为任意正实数。全系列的套装 $$ \sum{p>\mathrm{N}} \frac{x_{p}}{p^{s}}, \quad \text { with } \quad\left(x_{p}\right) \in \widehat {\mathrm{S}}^{1}
$$
收敛于 $\mathrm{H}(\mathrm{D})$ 是稠密的 $\mathrm{H}(\mathrm{D})$。
我们将从附录 $\mathrm{A}$ 中定理 A.5.1 的密度准则推导出命题，应用于空间 $\mathrm{H}(\mathrm{D})$ 和序列 $\left(f_ {p}\right)$ 与 $f_{p}(s)=p^{-s}$ 为 $p$ 素数。由于 $\left|f_{p}\right|_{\infty}=p^{-\sigma_{1}}$，其中 $\sigma_{1}=\tau-r>1 / 2$，条件
$$
\sum_{p}\left|f_{p}\right|_{\infty}^{2}<+\infty
$$
持有。此外，命题 $3.2 .9$ 肯定存在一些 $\left(x_{p}\right) \in \widehat{\mathbf{S}}^{1}$ 使得级数 $\sum_{p} x_{p} f_{p}$ 收敛于 $\mathrm{H}(\mathrm{D})$。因此定理 A.5.1 的结论
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是我们所寻求的，我们只需要检查以下引理来建立应用它所需的最后一个假设：
引理 3.3.2。令 $\mu \in \mathrm{C}(\overline{\mathrm{D}})^{\prime}$ 是一个连续线性泛函。让
$$
g(z)=\mu\left(s \mapsto e^{s z}\right)
$$
是它的拉普拉斯变换。如果
$$
\sum_{p}|g(\log p)|<+\infty
$$
那么我们有 $g=0$。
确实，关键是$\mu\left(f_{p}\right)=\mu\left(s \mapsto p^{-s}\right)=g(\log p)$，所以假设（3.13）关于$g$ 正好是（A.3）。
正如我们将看到的，这是一个包含一些算术内容的陈述，并且确实涉及质数定理。
证明。让
$$
\varrho=\limsup _{r \rightarrow+\infty} \frac{\log |g(r)|}{r}
$$
这是由引理 A.5.2 (1) 有限的。根据引理 A.5.2 (3)，证明 $\varrho \leqslant 1 / 2$ 足以得出 $g=0$ 的结论。为此，我们将使用定理 A.5.3，它通过沿某些趋于无穷大的实数序列“采样”$g$ 来提供对 $\varrho$ 值的访问。
数论代写
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
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在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。
数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。
计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
