数学代写|The Weyl criterion 数论代考
数论代考
One important special case of convergence in law is known as equidistribution in the context of topological groups in particular. We only consider compact groups here for simplicity. Let $G$ be such a group. Then there exists on $G$ a unique Borel probability measure $\mu_{\mathrm{G}}$ which is invariant under left (and right) translations: for any integrable function $f: \mathrm{G} \longrightarrow \mathrm{C}$ and for any fixed $g \in \mathrm{G}$, we have
$$
\int_{\mathrm{G}} f(g x) d \mu_{\mathrm{G}}(x)=\int_{\mathrm{G}} f(x g) d \mu_{\mathrm{G}}(x)=\int_{\mathrm{G}} f(x) d \mu_{\mathrm{G}}(x) .
$$
This measure is called the (probability) Haar measure on G (see, e.g., $[17$, VII, $\S 1, n .2$, th. 1 and prop. 2]).
If a $\mathrm{G}$-valued random variable $\mathrm{X}$ is distributed according to $\mu_{\mathrm{G}}$, one says that $\mathrm{X}$ is uniformly distributed on $\mathrm{G}$.
EXAMPLE B.6.1. (1) Let $\mathrm{G}=\mathrm{S}^{1}$ be the multiplicative group of complex numbers of modulus 1. This group is isomorphic to $\mathbf{R} / \mathbf{Z}$ by the isomorphism $\theta \mapsto e(\theta)$. The measure $\mu_{\mathrm{G}}$ is then identified with the Lebesgue measure $d \theta$ on $\mathbf{R} / \mathbf{Z}$. In other words, for any integrable function $f: \mathbf{S}^{1} \rightarrow \mathbf{C}$, we have
$$
\int_{\mathbf{S}^{1}} f(z) d \mu_{\mathrm{G}}(z)=\int_{\mathbf{R} / \mathbf{Z}} f(e(\theta)) d \theta=\int_{0}^{1} f(e(\theta)) d \theta
$$
(2) If $\left(\mathrm{G}{i}\right){i \in \mathrm{I}}$ is any family of compact groups, each with a probability Haar measure $\mu_{i}$, then the (possibly infinite) tensor product
$$
\bigotimes_{i \in \mathrm{I}} \mu_{i}
$$
is the probability Haar measure $\mu$ on the product $\mathrm{G}$ of the groups $\mathrm{G}{i}$. Probabilistically, one would interpret this as saying that $\mu$ is the law of a family $\left(X{i}\right)$ of independent random variables, where each $\mathrm{X}{i}$ is uniformly distributed on $\mathrm{G}{i}$.
(3) Let $\mathrm{G}$ be the non-abelian compact group $\mathrm{SU}{2}(\mathrm{C})$, i.e. $$ \mathrm{G}=\left{\left.\left(\begin{array}{cc} \alpha & \bar{\beta} \ -\beta & \bar{\alpha} \end{array}\right)|\alpha, \beta \in \mathrm{C},| \alpha\right|^{2}+|\beta|^{2}=1\right} $$ Writing $\alpha=a+i b, \beta=c+i d$, we can identify $\mathrm{G}$, as a topological space, with the unit 3 -sphere $$ \left{(a, b, c, d) \in \mathbf{R}^{4} \mid a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1\right} $$ of $\mathrm{R}^{4}$. Hence the surface (Lebesgue) measure $\mu{0}$ on the 3 -sphere is a Borel invariant measure on $\mathrm{G}$. By uniqueness, we see that the probability Haar measure on $\mathrm{G}$ is $$ \mu=\frac{1}{2 \pi^{2}} \mu_{0} $$
(since the surface area of the 3 -sphere is $2 \pi^{2}$ ).
Consider now the trace Tr : $\mathrm{G} \longrightarrow \mathrm{R}$, which is given by $(a, b, c, d) \mapsto 2 a$ in the sphere coordinates. One can show that the direct image $\operatorname{Tr}{*}(\mu)$ is the so-called Sato-Tate measure $$ \mu{\mathrm{ST}}=\frac{1}{\pi} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}} d x
$$
supported on $[-2,2]$ (for probabilists, this is also a semi-circle law); equivalently if we write the trace as
$$
\operatorname{Tr}(g)=2 \cos (\theta),
$$
for a unique $\theta \in[0, \pi]$, then this measure is identified with the measure
$$
\frac{2}{\pi} \sin ^{2} \theta d \theta
$$
on $[0, \pi]$ (for a proof, see e.g. $[18$, Ch. 9 , p. 58 , exemple $]$ ). One obtains from either description of $\mu_{\mathrm{ST}}$ the expectation and variance
$$
\int_{\mathbf{R}} t d \mu_{\mathrm{ST}}=0, \quad \int_{\mathbf{R}} t^{2} d \mu_{\mathrm{ST}}=1
$$
(4) If $\mathrm{G}$ is a finite group then the probability Haar measure is just the normalized counting measure: for any function $f$ on $\mathrm{G}$, the integral of $f$ is
$$
\frac{1}{|\mathrm{G}|} \sum_{x \in \mathrm{G}} f(x) \text {. }
$$
法律中一种重要的收敛特例被称为特别是在拓扑群的背景下的均衡分布。为简单起见，我们在这里只考虑紧凑组。让$G$ 成为这样一个组。那么在 $G$ 上存在一个唯一的 Borel 概率测度 $\mu_{\mathrm{G}}$，它在左（右）平移下是不变的：对于任何可积函数 $f: \mathrm{G} \longrightarrow \mathrm {C}$ 并且对于任何固定的 $g \in \mathrm{G}$，我们有
$$
\int_{\mathrm{G}} f(gx) d \mu_{\mathrm{G}}(x)=\int_{\mathrm{G}} f(xg) d \mu_{\mathrm{G}} (x)=\int_{\mathrm{G}} f(x) d \mu_{\mathrm{G}}(x) 。
$$
该度量称为 G 上的（概率）Haar 度量（参见例如 $[17$, VII, $\S 1, n .2$, th. 1 和 prop. 2]）。
如果一个 $\mathrm{G}$ 值随机变量 $\mathrm{X}$ 按照 $\mu_{\mathrm{G}}$ 分布，则可以说 $\mathrm{X}$ 均匀分布在$\mathrm{G}$。
示例 B.6.1。 (1) 令 $\mathrm{G}=\mathrm{S}^{1}$ 为模为 1 的复数的乘法群。这个群同构于 $\mathbf{R} / \mathbf{Z}$通过同构$\theta \mapsto e(\theta)$。测度 $\mu_{\mathrm{G}}$ 然后被识别为在 $\mathbf{R} / \mathbf{Z}$ 上的 Lebesgue 测度 $d \theta$。换句话说，对于任何可积函数 $f: \mathbf{S}^{1} \rightarrow \mathbf{C}$，我们有
$$
\int_{\mathbf{S}^{1}} f(z) d \mu_{\mathrm{G}}(z)=\int_{\mathbf{R} / \mathbf{Z}} f(e( \theta)) d \theta=\int_{0}^{1} f(e(\theta)) d \theta
$$
(2) 如果 $\left(\mathrm{G}{i}\right){i \in \mathrm{I}}$ 是紧群的任意族，每个都具有概率 Haar 测度 $\mu_{i }$，然后是（可能是无限的）张量积
$$
\bigotimes_{i \in \mathrm{I}} \mu_{i}
$$
是组 $\mathrm{G}{i}$ 的乘积 $\mathrm{G}$ 上的概率 Haar 测度 $\mu$。在概率上，人们会将此解释为 $\mu$ 是独立随机变量的家族 $\left(X{i}\right)$ 的定律，其中每个 $\mathrm{X}{i}$ 是均匀分布在 $\mathrm{G}{i}$ 上。
(3) 令$\mathrm{G}$为非阿贝尔紧群$\mathrm{SU}{2}(\mathrm{C})$，即 $$ \mathrm{G}=\left{\left.\left(\begin{array}{cc} \alpha & \bar{\beta} \ -\beta & \bar{\alpha} \end{数组}\right)|\alpha, \beta \in \mathrm{C},| \alpha\right|^{2}+|\beta|^{2}=1\right} $$ 写成 $\alpha=a+i b, \beta=c+i d$，我们可以将 $\mathrm{G}$ 识别为一个拓扑空间，单位为 3 -sphere $$ \left{(a, b, c, d) \in \mathbf{R}^{4} \mid a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}= 1\右} $$ $\mathrm{R}^{4}$。因此，在 3 球面上的表面 (Lebesgue) 测度 $\mu{0}$ 是 $\mathrm{G}$ 上的 Borel 不变测度。通过唯一性，我们看到 $\mathrm{G}$ 上的概率 Haar 测度是 $$ \mu=\frac{1}{2 \pi^{2}} \mu_{0} $$
（因为 3 球体的表面积是 $2 \pi^{2}$ ）。
现在考虑轨迹 Tr : $\mathrm{G} \longrightarrow \mathrm{R}$，它由球坐标中的 $(a, b, c, d) \mapsto 2 a$ 给出。可以证明直接映象$\operatorname{Tr}{*}(\mu)$就是所谓的Sato-Tate测度 $$ \mu{\mathrm{ST}}=\frac{1}{\pi} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}} d x
$$
支持 $[-2,2]$ （对于概率论者，这也是一个半圆定律）；等效地，如果我们将跟踪写为
$$
\operatorname{Tr}(g)=2 \cos (\theta),
$$
对于一个唯一的 $\theta \in[0, \pi]$，那么这个度量被标识为
$$
\frac{2}{\pi} \sin ^{2} \theta d \theta
$$
在 $[0, \pi]$ 上（有关证明，请参见例如 $[18$, Ch. 9 , p. 58 , example $]$ ）。可以从 $\mu_{\mathrm{ST}}$ 的任一描述中获得期望和方差
$$
\int_{\mathbf{R}} t d \mu_{\mathrm{ST}}=0, \quad \int_{\mathbf{R}} t^{2} d \mu_{\mathrm{ST}}=1
$$
(4) 如果 $\mathrm{G}$ 是一个有限群，那么概率 Haar 测度就是归一化计数测度：对于 $\mathrm{G}$ 上的任何函数 $f$，$f$ 的积分是
$$
\frac{1}{|\mathrm{G}|} \sum_{x \in \mathrm{G}} f(x) \text {. }
$$
数论代写
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
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在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。
数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。
计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
