19th Ave New York, NY 95822, USA

# 统计代写| The Ratio of Two Gamma Random Variable 抽样理论代考

## 统计代写

The following result turns out to be useful in several computations.

• Assume that $X$ and $Y$ are independent Gamma random variables with parameters $(r, \lambda)$ and $(s, \lambda)$, respectively. Let $U=X / Y$. Then the probability density of $U$ is given by
$$f_{U}(u)=\frac{\Gamma(r+s)}{\Gamma(r) \Gamma(s)} \frac{u^{r-1}}{(u+1)^{r+s}} \text { for } u>0 .$$
Let $U=X / Y$ and $V=X$. We see that $(x, y) \longrightarrow(u, v)$ is a one to one transformation from $(0, \infty) \times(0, \infty)$ to itself and the Jacobian is $v / u^{2}$. The density of $(X, Y)$ is
$$\frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)} x^{r-1} \exp (-\lambda x) \frac{\lambda^{s}}{\Gamma(s)} y^{s-1} \exp (-\lambda y) \text { for } x>0, y>0 .$$
Hence, the density of $(U, V)$ is
$$f(u, v)=\frac{\lambda^{r+s}}{\Gamma(r) \Gamma(s)} v^{r-1} \exp (-\lambda v)\left(\frac{v}{u}\right)^{s-1} \exp \left(-\lambda \frac{v}{u}\right) \frac{v}{u^{2}} \text { for } u>0, v>0 .$$
Our goal is to compute the marginal density of $U$ and hence to integrate the preceding joint density with respect to $v$. This is why we rearrange the joint density,
$$f(u, v)=\frac{\lambda^{r+s}}{u^{s+1} \Gamma(r) \Gamma(s)} v^{r+s-1} \exp \left(-\lambda\left(1+\frac{1}{u}\right) v\right) .$$
Now, for any $\mu>0$ and $a>0$,
$$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(a)} \mu^{a} x^{a-1} \exp (-\mu x) d x=1 .$$
16 Continuous Joint Distributions
182
This is so because the integrand is a Gamma density with parameters $a$ and $\mu$. Hence,
$$\int_{0}^{\infty} x^{a-1} \exp (-\mu x) d x=\frac{\Gamma(a)}{\mu^{a}}$$
We use this formula with $a=r+s$ and $\mu=\lambda(1+1 / u)$ to get
$$\int_{0}^{\infty} v^{r+s-1} \exp \left(-\lambda\left(1+\frac{1}{u}\right) v\right) d v=\frac{\Gamma(r+s)}{\lambda^{r+s}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{r+s}}$$
Therefore,
$$\int_{0}^{\infty} f(u, v) d v=\frac{\lambda^{r+s}}{u^{s+1} \Gamma(r) \Gamma(s)} \frac{\Gamma(r+s)}{\lambda^{r+s}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{r+s}}$$
Hence, the density of $U=X / Y$ is
$$f_{U}(u)=\frac{\Gamma(r+s)}{\Gamma(r) \Gamma(s)} \frac{u^{r-1}}{(u+1)^{r+s}} \text { for } u>0 .$$

• 假设 $X$ 和 $Y$ 是独立的 Gamma 随机变量，参数分别为 $(r, \lambda)$ 和 $(s, \lambda)$。令 $U=X / Y$。那么$U$的概率密度由下式给出
$$f_{U}(u)=\frac{\Gamma(r+s)}{\Gamma(r) \Gamma(s)} \frac{u^{r-1}}{(u+1)^{ r+s}} \text { 对于 } u>0 。$$
令 $U=X / Y$ 和 $V=X$。我们看到 $(x, y) \longrightarrow(u, v)$ 是从 $(0, \infty) \times(0, \infty)$ 到自身的一对一变换，雅可比行列式是 $v / u ^{2}$。 $(X, Y)$ 的密度为
$$\frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)} x^{r-1} \exp (-\lambda x) \frac{\lambda^{s}}{\Gamma(s)} y ^{s-1} \exp (-\lambda y) \text { for } x>0, y>0 。$$
因此，$(U, V)$ 的密度为
$$f(u, v)=\frac{\lambda^{r+s}}{\Gamma(r) \Gamma(s)} v^{r-1} \exp (-\lambda v)\left(\ frac{v}{u}\right)^{s-1} \exp \left(-\lambda \frac{v}{u}\right) \frac{v}{u^{2}} \text {对于 } u>0, v>0 。$$
我们的目标是计算 $U$ 的边际密度，从而整合前面关于 $v$ 的联合密度。这就是我们重新排列关节密度的原因，
$$f(u, v)=\frac{\lambda^{r+s}}{u^{s+1} \Gamma(r) \Gamma(s)} v^{r+s-1} \exp \左(-\lambda\left(1+\frac{1}{u}\right) v\right) 。$$
现在，对于任何 $\mu>0$ 和 $a>0$，
$$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(a)} \mu^{a} x^{a-1} \exp (-\mu x) d x=1 。$$
16个连续联合分布
182
之所以如此，是因为被积函数是具有参数 $a$ 和 $\mu$ 的 Gamma 密度。因此，
$$\int_{0}^{\infty} x^{a-1} \exp (-\mu x) d x=\frac{\Gamma(a)}{\mu^{a}}$$
我们使用这个公式与 $a=r+s$ 和 $\mu=\lambda(1+1 / u)$ 得到
$$\int_{0}^{\infty} v^{r+s-1} \exp \left(-\lambda\left(1+\frac{1}{u}\right) v\right) dv=\ frac{\Gamma(r+s)}{\lambda^{r+s}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{r+s}}$$
所以，
$$\int_{0}^{\infty} f(u, v) dv=\frac{\lambda^{r+s}}{u^{s+1} \Gamma(r) \Gamma(s)} \ frac{\Gamma(r+s)}{\lambda^{r+s}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{r+s}}$$
因此，$U=X / Y$ 的密度为
$$f_{U}(u)=\frac{\Gamma(r+s)}{\Gamma(r) \Gamma(s)} \frac{u^{r-1}}{(u+1)^{ r+s}} \text { 对于 } u>0 。$$

## 统计代考

my-assignmentexpert愿做同学们坚强的后盾，助同学们顺利完成学业，同学们如果在学业上遇到任何问题，请联系my-assignmentexpert™，我们随时为您服务！

## 编码理论代写

1. 数据压缩（或信源编码
2. 前向错误更正（或信道编码
3. 加密编码
4. 线路码

## 复分析代考

(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。