统计代写|The Discrete Case抽样理论代考
统计代写
We start with a definition.
- Assume that $X$ and $Y$ are continuous random variables with joint density $f$. Let $f_{Y}$ be the marginal density of the random variable $Y$. Let $y$ be in the support of $Y$ (i.e., $f_{Y}(y)>0$ ). The conditional density of $X$ given $Y=y$ is defined to be
We will also use the notation $f(x \mid Y=y)$ for $f(x \mid y)$ when we will want to mphasize that $y$ is a value of the random variable $Y .$ 18 Conditional Distribution and Expectation
Example 3 Take $(X, Y)$ uniformly distributed on the two dimensional unit disc. That is,
$$
f(x, y)=\frac{1}{\pi} \text { for } x^{2}+y^{2} \leq 1
$$
Given $y=1 / 2$ what is the conditional density of $X$ ?
Recall that $f_{Y}$ is computed by the formula
$$
f_{Y}(y)=\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) d x .
$$
Hence,
$$
f_{Y}(y)=\frac{2}{\pi} \sqrt{1-y^{2}} \text { for } y \in(-1,1)
$$
By definition of the conditional density,
$$
\begin{aligned}
f(x \mid Y=1 / 2) &=\frac{f(x, 1 / 2)}{f_{Y}(1 / 2)} \
&=\frac{\frac{1}{\pi}}{\frac{2}{\pi} \sqrt{1 \quad(1 / 2)^{2}}} \text { for } x^{2}+(1 / 2)^{2} \leq 1
\end{aligned}
$$
Thus,
$$
f(x \mid Y=1 / 2)=\frac{\sqrt{3}}{3} \text { for }-\frac{\sqrt{3}}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
That is, $X$ conditioned on $Y=1 / 2$ is uniformly distributed on $\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$. There is nothing special about $Y=1 / 2$, of course. One can show that for any $y$ in $[-1,1]$ the conditional density of $X$ given $Y=y$ is uniform on $\left[-\sqrt{1-y^{2}}, \sqrt{1+y^{2}}\right]$.
Example 4 Assume that $X$ is picked uniformly in $(0,1)$ and then $Y$ is picked uniformly in $(0, X)$. What is the distribution of the vector $(X, Y)$ ?
From the information above we get that the conditional distribution of $Y$ given $X=x$ is uniform in $(0, x)$. That is,
$$
f(y \mid x)=\frac{1}{x} \text { for } y \in(0, x)
$$
We use the formula for conditional density to get
$$
f(x, y)=f(y \mid x) f_{X}(x)=\frac{1}{x} \text { for } 0<y<x<1
$$
我们从一个定义开始。
- 假设$X$ 和$Y$ 是具有联合密度$f$ 的连续随机变量。令 $f_{Y}$ 为随机变量 $Y$ 的边际密度。让 $y$ 在 $Y$ 的支持下（即 $f_{Y}(y)>0$ ）。给定 $Y=y$ 的 $X$ 的条件密度定义为
当我们想要强调 $y$ 是随机变量 $Y 的值时，我们还将使用符号 $f(x \mid Y=y)$ 表示 $f(x \mid y)$。$ 18 有条件的分布与预期
例3 取$(X, Y)$ 均匀分布在二维单位圆盘上。那是，
$$
f(x, y)=\frac{1}{\pi} \text { for } x^{2}+y^{2} \leq 1
$$
给定 $y=1 / 2$ 的条件密度是多少 $X$ ？
回想一下，$f_{Y}$ 是由公式计算的
$$
f_{Y}(y)=\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) d x 。
$$
因此，
$$
f_{Y}(y)=\frac{2}{\pi} \sqrt{1-y^{2}} \text { for } y \in(-1,1)
$$
根据条件密度的定义，
$$
\开始{对齐}
f(x \mid Y=1 / 2) &=\frac{f(x, 1 / 2)}{f_{Y}(1 / 2)} \
&=\frac{\frac{1}{\pi}}{\frac{2}{\pi} \sqrt{1 \quad(1 / 2)^{2}}} \text { for } x^{ 2}+(1 / 2)^{2} \leq 1
\end{对齐}
$$
因此，
$$
f(x \mid Y=1 / 2)=\frac{\sqrt{3}}{3} \text { for }-\frac{\sqrt{3}}{2} \leq x \leq \frac{ \sqrt{3}}{2}
$$
即以 $Y=1 / 2$ 为条件的 $X$ 均匀分布在 $\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\对]$。当然，$Y=1 / 2$ 并没有什么特别之处。可以证明，对于 $[-1,1]$ 中的任何 $y$，$X$ 的条件密度给定 $Y=y$ 在 $\left[-\sqrt{1-y^{2}} 上是一致的, \sqrt{1+y^{2}}\right]$。
示例 4 假设 $X$ 在 $(0,1)$ 中被均匀拾取，然后 $Y$ 在 $(0, X)$ 中被均匀拾取。向量 $(X, Y)$ 的分布是什么？
从上面的信息我们得到，给定 $X=x$ 的 $Y$ 的条件分布在 $(0, x)$ 中是均匀的。那是，
$$
f(y \mid x)=\frac{1}{x} \text { for } y \in(0, x)
$$
我们使用条件密度公式得到
$$
f(x, y)=f(y \mid x) f_{X}(x)=\frac{1}{x} \text { for } 0<y<x<1
$$
统计代考
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编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
