统计代写|Proof That the Correlation Is Bounded抽样理论代考
统计代写
Correlations are standardized covariances. Covariances can be any number in $(-\infty,+\infty)$ while correlations are always in $[-1,1]$. So it is easier to interpret a correlation than a covariance. We now prove that correlations are always in $[-1,1]$. Let $X$ and $Y$ be two random variables such that $E\left(X^{2}\right)$ and $E\left(Y^{2}\right)$ exist. Assume that $S D(X)$ and $S D(Y)$ are strictly positive. Let
$$
U=\frac{X}{S D(X)}+\frac{Y}{S D(Y)} .
$$
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6 Proof That the Correlation Is Bounded
Using the formula for the variance of a sum,
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Var}(U)=& \operatorname{Var}\left(\frac{X}{S D(X)}\right)+\operatorname{Var}\left(\frac{Y}{S D(Y)}\right) \
&+2 \operatorname{Cov}\left(\frac{X}{S D(X)}, \frac{Y}{S D(y)}\right)
\end{aligned}
$$
Recall that $\operatorname{Var}$ is quadratic. That is, for any constant $a, \operatorname{Var}(a X)=a^{2} \operatorname{Var}(X)$. In particular,
$$
\operatorname{Var}\left(\frac{X}{S D(X)}\right)=\frac{1}{S D(X)^{2}} \operatorname{Var}(X)=1
$$
and similarly $\operatorname{Var}\left(\frac{Y}{S D(Y)}\right)=1$. Using the bilinearity of covariance,
$$
\operatorname{Cov}\left(\frac{X}{S D(X)}, \frac{Y}{S D(y)}\right)=\frac{1}{S D(X) S D(Y)} \operatorname{Cov}(X, Y)=\operatorname{Corr}(X, Y)
$$
Hence,
$$
\operatorname{Var}(U)=1+1+2 \operatorname{Corr}(X, Y)=2(1+\operatorname{Corr}(X, Y))
$$
Since $\operatorname{Var}(U) \geq 0$ (a variance is always positive) this yields $1+\operatorname{Corr}(X, Y) \geq 0$. That is, a correlation is always larger than or equal to $-1$.
Note also that $\operatorname{Corr}(X, Y)=-1$ only if $\operatorname{Var}(U)=0$. The variance can be 0 only if the random variable is a constant. That is,
$$
U=\frac{X}{S D(X)}+\frac{Y}{S D(Y)}=c
$$
for some constant $c$. That is, there is a linear relationship between $X$ and $Y$ when $\operatorname{Cor} r(X, Y)=-1$.
To prove the inequality $\operatorname{Cor} r(X, Y) \leq 1$ let
$$
V=\frac{X}{S D(X)}-\frac{Y}{S D(Y)}
$$
Doing computations similar to the ones we just did we get
$$
\operatorname{Var}(V)=2(1-\operatorname{Corr}(X, Y))
$$
Since $\operatorname{Var}(V) \geq 0, \operatorname{Corr}(X, Y) \leq 1$. Moreover, $\operatorname{Corr}(X, Y)=1$ only if $V$ is a constant. That is, $\operatorname{Cor} r(X, Y)=1$ only if there is a linear relationship between $X$ and $Y$.
相关性是标准化的协方差。协方差可以是 $(-\infty,+\infty)$ 中的任何数字，而相关性总是 $[-1,1]$。因此，解释相关性比解释协方差更容易。我们现在证明相关性总是在 $[-1,1]$ 中。令 $X$ 和 $Y$ 是两个随机变量，使得 $E\left(X^{2}\right)$ 和 $E\left(Y^{2}\right)$ 存在。假设$S D(X)$ 和$S D(Y)$ 是严格正的。让
$$
U=\frac{X}{S D(X)}+\frac{Y}{S D(Y)} 。
$$
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6 相关性有界的证明
使用总和方差的公式，
$$
\开始{对齐}
\operatorname{Var}(U)=& \operatorname{Var}\left(\frac{X}{SD(X)}\right)+\operatorname{Var}\left(\frac{Y}{SD(Y ）}\正确的） \
&+2 \operatorname{Cov}\left(\frac{X}{S D(X)}, \frac{Y}{S D(y)}\right)
\end{对齐}
$$
回想一下 $\operatorname{Var}$ 是二次的。也就是说，对于任何常数 $a，\operatorname{Var}(a X)=a^{2} \operatorname{Var}(X)$。特别是，
$$
\operatorname{Var}\left(\frac{X}{S D(X)}\right)=\frac{1}{S D(X)^{2}} \operatorname{Var}(X)=1
$$
同样 $\operatorname{Var}\left(\frac{Y}{S D(Y)}\right)=1$。利用协方差的双线性，
$$
\operatorname{Cov}\left(\frac{X}{SD(X)}, \frac{Y}{SD(y)}\right)=\frac{1}{SD(X) SD(Y)} \operatorname{Cov}(X, Y)=\operatorname{Corr}(X, Y)
$$
因此，
$$
\operatorname{Var}(U)=1+1+2 \operatorname{Corr}(X, Y)=2(1+\operatorname{Corr}(X, Y))
$$
因为$\operatorname{Var}(U) \geq 0$（方差总是正的）这产生$1+\operatorname{Corr}(X, Y) \geq 0$。也就是说，相关性总是大于或等于 $-1$。
还要注意 $\operatorname{Corr}(X, Y)=-1$ 仅当 $\operatorname{Var}(U)=0$ 时。仅当随机变量为常数时，方差才能为 0。那是，
$$
U=\frac{X}{S D(X)}+\frac{Y}{S D(Y)}=c
$$
对于一些常数 $c$。也就是说，当$\operatorname{Cor} r(X, Y)=-1$ 时，$X$ 和$Y$ 之间存在线性关系。
为了证明不等式 $\operatorname{Cor} r(X, Y) \leq 1$ 让
$$
V=\frac{X}{S D(X)}-\frac{Y}{S D(Y)}
$$
进行类似于我们刚刚得到的计算
$$
\operatorname{Var}(V)=2(1-\operatorname{Corr}(X, Y))
$$
由于$\operatorname{Var}(V) \geq 0，\operatorname{Corr}(X, Y) \leq 1$。此外，$\operatorname{Corr}(X, Y)=1$ 仅当 $V$ 是一个常数时。也就是说，$\operatorname{Cor} r(X, Y)=1$ 仅当 $X$ 和 $Y$ 之间存在线性关系时。
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相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
