统计代写|Gamma and Beta Random Variable抽样理论代考
统计代写
- The function Gamma is defined for all $r>0$ by
$$
\Gamma(r)=\int_{0}^{\infty} x^{r-1} e^{-x} d x
$$
The integral that defines the function Gamma is improper at 0 if $r<1$ and is improper at $\mid \infty$ for any $r . \Lambda \mathrm{s} x$ approaches $0, x^{r-1} e^{-x} \sim x^{r-1}$. Note that $\int_{0}^{1} x^{r-1} d x$ converges for all $r>0$. Hence, the integral defining Gamma converges near 0 for any $r>0$.
4 Gamma and Beta Random Variables
179
We now turn to the integral near infinity. Note that as $x$ approaches infinity,
$$
x^{r-1} e^{-x} \leq e^{-x / 2}
$$
To check this one can show that the ratio
$$
\frac{x^{r-1} e^{-x}}{e^{-x / 2}}
$$
converges to 0 as $x$ goes to infinity. Since $x^{r-1} e^{-x}$ is a positive function and is less than $e^{-x / 2}$ whose integral converges at $+\infty$ we conclude that the improper integral
$$
\int_{1}^{\infty} x^{r}{ }^{1} e^{x} d x
$$
converges. This proves that the function Gamma is indeed defined for all $r>0$. - For all real numbers $r>0$,
$$
\Gamma(r+1)=r \Gamma(r)
$$
The formula is easily proved by integration by parts,
$$
\begin{aligned}
\Gamma(r+1) &=\int_{0}^{\infty} x^{r} e^{-x} d x \
&\left.=-x^{r} e^{-x}\right]{0}^{\infty}+\int{0}^{\infty} r x^{r-1} e^{-x} d x \
&=r \Gamma(r)
\end{aligned}
$$
As the next result shows the function Gamma can be seen as a generalization of factorials to positive real numbers. - For all natural numbers $n, \Gamma(n)=(n-1)$ !
The proof of this result is an easy induction and is left to the reader.
- 函数 Gamma 为所有 $r>0$ 定义
$$
\Gamma(r)=\int_{0}^{\infty} x^{r-1} e^{-x} d x
$$
如果 $r<1$，定义函数 Gamma 的积分在 0 处不正确，并且对于任何 $r 在 $\mid \infty$ 处不正确。 \Lambda \mathrm{s} x$ 接近 $0，x^{r-1} e^{-x} \sim x^{r-1}$。注意 $\int_{0}^{1} x^{r-1} d x$ 收敛于所有 $r>0$。因此，对于任何 $r>0$，定义 Gamma 的积分收敛于 0 附近。
4 Gamma 和 Beta 随机变量
179
我们现在转向接近无穷大的积分。请注意，当 $x$ 接近无穷大时，
$$
x^{r-1} e^{-x} \leq e^{-x / 2}
$$
检查这一点可以表明该比率
$$
\frac{x^{r-1} e^{-x}}{e^{-x / 2}}
$$
当 $x$ 趋于无穷大时收敛到 0。由于 $x^{r-1} e^{-x}$ 是一个正函数并且小于 $e^{-x / 2}$ 其积分收敛于 $+\infty$ 我们得出结论，不正确的积分
$$
\int_{1}^{\infty} x^{r}{ }^{1} e^{x} d x
$$
收敛。这证明函数 Gamma 确实是为所有 $r>0$ 定义的。 - 对于所有实数 $r>0$，
$$
\伽玛(r+1)=r \伽玛(r)
$$
该公式很容易通过分部积分来证明，
$$
\开始{对齐}
\Gamma(r+1) &=\int_{0}^{\infty} x^{r} e^{-x} d x \
&\left.=-x^{r} e^{-x}\right]{0}^{\infty}+\int{0}^{\infty} rx^{r-1} e^{ -x} dx \
&=r \伽玛(r)
\end{对齐}
$$
正如下一个结果所示，函数 Gamma 可以看作是阶乘对正实数的推广。 - 对于所有自然数 $n，\Gamma(n)=(n-1)$ ！
这个结果的证明是一个简单的归纳，留给读者。
统计代考
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编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
