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Our discussion uses a specific example, the gloves game. Some players have a left glove and others a right glove. Single gloves have a worth of zero while pairs have a worth of 1 (Euro). The coalition function for the gloves game is given by
$$
\begin{aligned}
v_{L, R}: & 2^{N} \rightarrow \mathbb{R} \
& K \mapsto v_{L, R}(K)=\min (|K \cap L|,|K \cap R|)
\end{aligned}
$$
where
- $N$ is the set of players (also called the grand coalition),
- $L$ (set of left-glove holders) and $R$ (set of right-glove holders) form a partition of $N$,
- $v_{L, R}$ denotes the coalition function for the gloves game,
- $2^{N}$ stands for $N$ ‘s power set, i.e., the set of all subsets of $N$ (the domain of $\left.v_{L, R}\right)$, and
- $K$ is a coalition, i.e., $K \subseteq N$ or $K \in 2^{N}$.
Thus, to each coalition $K$, the coalition function $v_{L, R}$ attributes that coalition’s number of pairs of gloves.
DEFINITION XV.1 (PLAYER SETS AND COALITION FUNCTIONS). Player sets and coalition functions are specified by the following definitions:
- Finite and nonempty player sets are denoted by $N$. More often than not, we have $N={1, \ldots, n}$ with $n \in \mathbb{N}$.
- $v: 2^{N} \rightarrow \mathbb{R}$ is called a coalition function if $v$ fulfills $v(\emptyset)=0$. $v(K)$ is called coalition $K$ ‘s worth.
- For any given coalition function $v$, its player set can be addressed by $N(v)$ or, more simply, $N$.
- We denote the set of all games on $N$ by $\mathbb{V}_{N}$ and the set of all games (for any player set $N$ ) by $\mathbb{V}$.
我们的讨论使用了一个具体的例子，手套游戏。一些球员有左手套，而另一些球员有右手套。单手套的价值为零，而双手套的价值为 1（欧元）。手套游戏的联盟函数由下式给出
v一世,R:2ñ→R 到↦v一世,R(到)=分钟(|到∩一世|,|到∩R|)
在哪里
- ñ是玩家的集合（也称为大联盟），
- 一世（一套左手套架）和R（一组右手套持有人）形成一个分区ñ,
- v一世,R表示手套博弈的联合函数，
- 2ñ代表ñ的幂集，即所有子集的集合ñ（的域v一世,R)， 和
- 到是一个联盟，即到⊆ñ要么到∈2ñ.
因此，对于每个联盟到, 联合函数v一世,R属性该联盟的手套数量。
定义 XV.1（球员组合和联盟职能）。玩家集合和联盟功能由以下定义指定：
- 有限和非空玩家集表示为ñ. 很多时候，我们有ñ=1,…,n和n∈ñ.
- v:2ñ→R称为联合函数，如果v满足v(∅)=0.v(到)被称为联盟到的价值。
- 对于任何给定的联合函数v, 它的玩家集可以通过ñ(v)或者，更简单地说，ñ.
- 我们表示所有游戏的集合ñ经过五ñ和所有游戏的集合（对于任何玩家集合ñ） 经过五.
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