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Definition|Econ经济作业代写Economics代考
Thus, monotonicity means that the worth of a coalition cannot decrease if other players join. For example, if $S^{\prime}$ is a superset of $S$ (or $S$ a subset of $\left.S^{\prime}\right)$, we cannot have $v(S)=1$ and $v\left(S^{\prime}\right)=0$.
DEFINITION XV.16 (SIMPLE GAME). A coalition function $v \in \mathbb{V}_{N}$ is called simple if
- we have $v(K)=0$ or $v(K)=1$ for every coalition $K \subseteq N$,
- the grand coalition’s worth is 1 , and
- $v$ is monotonic.
Coalitions with $v(K)=1$ are called winning coalitions and coalitions with $v(K)=0$ are called losing coalitions. A winning coalition $K$ is a minimal winning coalition if every strict subset of $K$ is not a winning coalition.
Veto players and dictators|ECON经济作业代写ECONOMICS代考
DEFINITION XV.17 (VETO PLAYER, DICTATOR). Let $v$ be a simple game. A player $i \in N$ is called a veto player if
$$
v(N \backslash{i})=0
$$
holds. $i$ is called a dictator if
$$
v(S)= \begin{cases}1, & i \in S \ 0, & \text { otherwise }\end{cases}
$$
holds for all $S \subseteq N$.
Thus, without a veto player, the worth of a coalition is 0 , while a dictator can produce the worth of 1 just by himself.
EXERCISE XV.16. Can there be a coalition $K$ such that $v(K \backslash{i})=1$ for a veto player $i$ or a dictator $i$ ?
Simple games and voting mechanisms|Econ经济作业代写Economics代考
Definition XV.18 (CONTRADICTORY, DECIDABLE). A simple game $v \in$ $\mathbb{V}_{N}$ is called non-contradictory if $v(K)=1$ implies $v(N \backslash K)=0$.
A simple game $v \in \mathbb{V}_{N}$ is called decidable if $v(K)=0$ implies $v(N \backslash K)=$
1 .
Thus, a contradictory voting game can lead to opposing decisions – for example, some candidate $A$ is voted president (with the support of some coalition $K$ ) and then some other candidate $B$ (with the support of $N \backslash K$ ) is also voted president. A non-decidable voting game can prevent any decision. Neither $A$ nor $B$ can gain enough support because coalition $K$ blocks candidate $B$ while $N \backslash K$ blocks candidate $A$.
Unanimity games|Econ经济作业代写Economics代考
DEFINITION XV.19 (UNANIMITY GAME). For any $T \neq \emptyset$,
$$
u_{T}(K)= \begin{cases}1, & K \supseteq T \ 0, & \text { otherwise }\end{cases}
$$
defines a unanimity game.
Thus, a coalition $K$ obtains the payoff of 1 if $K$ contains all the players from $T$. The players from $T$ are the productive or powerful members of society.
- Every player from $T$ is a veto player and no player from $N \backslash T$ is a veto player.
- In a sense, the players from $T$ exert common dictatorship. For example, each player $i \in T$ possesses part of a treasure map.
While $u_{\emptyset}$ is also explained, it is not called a unanimity game.
EXERCISE XV.19. Find the null players in the unanimity game $u_{T}$.
Apex games|ECON经济作业代写ECONOMICS代考
DEFINITION XV.20 (APEX GAME). For $i \in N$ with $n \geq 2$, the apex game $h_{i}$ is defined by
$$
h_{i}(K)= \begin{cases}1, & i \in K \text { and } K \backslash{i} \neq \emptyset \ 1, & K=N \backslash{i} \ 0, & \text { otherwise }\end{cases}
$$
Player $i$ is called the main, or apex, player of that game.
Thus, there are two types of winning coalitions in the apex game:
- $i$ together with at least one other player or
- all the other players taken together.
Mostly, we work with apex games for $n \geq 4$.
Weighted voting games|ECON经济作业代写ECONOMICS代考
DEFINITION XV.21 (WEIGHTED VOTING GAME). A voting game $v$ is specified by a quota $q$ and voting weights $g_{i}, i \in N$, and defined by
$$
v(K)= \begin{cases}1, & \sum_{i \in K} g_{i} \geq q \ 0, & \sum_{i \in K} g_{i}<q\end{cases}
$$
The voting game is denoted by $\left[q ; g_{1}, \ldots, g_{n}\right]$.
For example,
$$
\left[\frac{1}{2} ; \frac{1}{n}, \ldots, \frac{1}{n}\right]
$$
is the majority rule, according to which fifty percent of the votes are necessary for a winning coalition. Do you see that $n=4$ means that this majority rule is contradictory?
The apex game $h_{1}$ for $n$ players can be considered a weighted voting game given by
$$
\left[n-1 ; n-\frac{3}{2}, 1, \ldots, 1\right] .
$$
EXERCISE XV.25. Consider the unanimity game $u_{T}$ given by $t<n$ and $T={1, \ldots, t}$. Can you express it as a weighted voting game?
DEFINITION|ECON经济作业代写ECONOMICS代考
因此，单调性意味着如果其他参与者加入，联盟的价值不会降低。例如，如果小号′是一个超集小号（要么小号的一个子集小号′), 我们不能有v(小号)=1和v(小号′)=0.
定义 XV.16（简单游戏）。联合职能v∈五ñ被称为简单如果
- 我们有v(到)=0要么v(到)=1对于每个联盟到⊆ñ,
- 大联盟的价值是 1 ，并且
- v是单调的。
与联盟v(到)=1被称为获胜联盟和联盟v(到)=0被称为失败的联盟。获胜的联盟到是一个最小获胜联盟，如果每个严格的子集到不是一个胜利的联盟。
VETO PLAYERS AND DICTATORS|ECON经济作业代写ECONOMICS代考
定义 XV.17（否决者、独裁者）。让v做一个简单的游戏。一个玩家一世∈ñ被称为否决权玩家，如果
v(ñ∖一世)=0
持有。一世被称为独裁者，如果
v(小号)={1,一世∈小号 0, 否则
适用于所有人小号⊆ñ.
因此，在没有否决权的情况下，联盟的价值为 0 ，而独裁者可以仅靠自己产生 1 的价值。
练习 XV.16。可以结盟吗到这样v(到∖一世)=1对于否决权玩家一世或独裁者一世?
SIMPLE GAMES AND VOTING MECHANISMS|ECON经济作业代写ECONOMICS代考
定义 XV.18（矛盾的，可判定的）。一个简单的游戏v∈ 五ñ称为非矛盾的，如果v(到)=1暗示v(ñ∖到)=0.
一个简单的游戏v∈五ñ被称为可判定的，如果v(到)=0暗示v(ñ∖到)=
1.
因此，一个矛盾的投票博弈会导致相反的决定——例如，一些候选人一种被选为总统（在一些联盟的支持下到) 然后是其他一些候选人乙（在支持下ñ∖到) 也被选为总统。不可判定的投票游戏可以阻止任何决定。两者都不一种也不乙可以获得足够的支持，因为联盟到块候选乙尽管ñ∖到块候选一种.
UNANIMITY GAMES|ECON经济作业代写ECONOMICS代考
定义 XV.19（一致游戏）。对于任何吨≠∅,
你吨(到)={1,到⊇吨 0, 否则
定义了一个一致的游戏。
因此，一个联盟到获得回报 1 如果到包含所有来自的玩家吨. 球员来自吨是社会的生产性或强大的成员。
- 每一位来自吨是否决权玩家，没有来自ñ∖吨是否决权玩家。
- 从某种意义上说，球员来自吨实行共同专政。例如，每个玩家一世∈吨拥有藏宝图的一部分。
尽管你∅也解释一下，不叫一致游戏。
练习 XV.19。在一致游戏中找到空玩家你吨.
APEX GAMES|ECON经济作业代写ECONOMICS代考
定义 XV.20（APEX 游戏）。为了一世∈ñ和n≥2, 巅峰游戏H一世定义为
H一世(到)={1,一世∈到 和 到∖一世≠∅ 1,到=ñ∖一世 0, 否则
播放器一世被称为该游戏的主要或顶点玩家。
因此，在顶点游戏中有两种类型的获胜联盟：
- 一世与至少一名其他玩家一起或
- 所有其他玩家合在一起。
大多数情况下，我们与 apex 游戏合作n≥4.
WEIGHTED VOTING GAMES|ECON经济作业代写ECONOMICS代考
定义 XV.21（加权投票游戏）。投票游戏v由配额指定q和投票权重G一世,一世∈ñ, 并定义为
v(到)={1,∑一世∈到G一世≥q 0,∑一世∈到G一世<q
投票游戏表示为[q;G1,…,Gn].
例如，
[12;1n,…,1n]
是多数规则，根据该规则，获胜联盟需要 50% 的选票。你看到了吗n=4意味着这个多数规则是矛盾的？
巅峰游戏H1为了n玩家可以被认为是一个加权投票游戏
[n−1;n−32,1,…,1].
练习 XV.25。考虑一致游戏你吨由吨<n和吨=1,…,吨. 你能把它表达成一个加权投票游戏吗？
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