数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Discrete distributions

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数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|transformations described

Building on the methods from Section 1.1, in this and the following sections we will study methods to transform an i.i.d. sequence of $\mathcal{U}[0,1]$-distributed random variables into an i.i.d. sequence from a prescribed target distribution. The methods from the previous section were inexact, since the output of a PRNG is not ‘truly random’. In contrast, the transformations described in this and the following sections can be carried out with complete mathematical rigour. We will discuss different methods for generating samples from a given distribution, applicable to different classes of target distributions. In this section we concentrate on the simplest case where the target distribution only takes finitely or countably infinitely many values.

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As a first example, we consider the uniform distribution on the set $A=$ ${0,1, \ldots, n-1}$, denoted by $\mathcal{U}{0,1, \ldots, n-1}$. Since the set $A$ has $n$ elements, a random variable $X$ with $X \sim \mathcal{U}{0,1, \ldots, n-1}$ satisfies
$$
P(X=k)=\frac{1}{n}
$$
for all $k \in A$. To generate samples from such a random variable $X$, at first it may seem like a good idea to just use a PRNG with state space $A$, for example the LCG with modulus $m=n$. But considering the fact that the maximal period length of a PRNG is restricted to the size of the state space, it becomes clear that this is not a good idea. Instead we will follow the approach to first generate a continuous sample $U \sim \mathcal{U}[0,1]$ and then to transform this sample into the required discrete uniform distribution. A method to implement this idea is described in the following lemma.

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数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|TRANSFORMATIONS DESCRIBED

基于 1.1 节中的方法,在本节和接下来的部分中,我们将研究转换 iid 序列的方法ü[0,1]-将随机变量从规定的目标分布分布到一个独立同分布的序列中。上一节中的方法是不精确的,因为 PRNG 的输出不是“真正随机的”。相比之下,本节和以下各节中描述的变换可以在完全数学严谨的情况下进行。我们将讨论从给定分布生成样本的不同方法,适用于不同类别的目标分布。在本节中,我们专注于最简单的情况,即目标分布只取有限或可数无限多个值。

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作为第一个例子,我们考虑集合上的均匀分布一种= 0,1,…,n−1,表示为ü0,1,…,n−1. 自从集一种已n元素,随机变量X和X∼ü0,1,…,n−1满足
磷(X=到)=1n
对所有人到∈一种. 从这样的随机变量生成样本X,起初使用带有状态空间的 PRNG 似乎是个好主意一种,例如具有模数的 LCG米=n. 但是考虑到 PRNG 的最大周期长度受限于状态空间的大小这一事实,很明显这不是一个好主意。相反,我们将遵循首先生成连续样本的方法ü∼ü[0,1]然后将此样本转换为所需的离散均匀分布。下面的引理描述了一种实现这个想法的方法。

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