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抽象代数abstract algebra如果你在街上问别人这个问题，最可能的回答是。”一些与X、Y和Z有关的可怕的事情”。如果你足够幸运，碰到了一个数学家，那么你可能会得到这样的回答。”代数是对我们的组成直觉的抽象封装。我们对组合的直觉”。我们所说的构成，是指两个物体在一起形成一个新物体的概念，一起形成一个新的对象。例如，将两个数字相加，或将实值的单变量函数。我们将发现，看似简单的组合概念中隐藏着巨大的隐藏深度。代数渗透到我们所有的数学直觉中。事实上，概念是这个学科的基础。
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In describing the difference between arithmetic and algebra, it might be said that arithmetic deals exclusively with numbers, while algebra deals with letters that represent numbers. The next step in abstraction involves dealing with objects that may not even represent numbers. For example, in learning calculus it is necessary to develop an “arithmetic” for functions. To give another example, in working with matrices, it is again necessary to develop some rules for matrix operations, and these rules constitute an “arithmetic” for matrices. The common thread in these developments, from an algebraic point of view, is the idea of an operation. Thus, as operations, we have addition, multiplication, and composition of functions, together with addition and multiplication of matrices. When we write $A B$ for a product of matrices, for example, we have created a notation that allows us to think of it as analogous to ordinary multiplication, even though it represents a more complicated computation.
The operations we will study will be binary operations; that is, we will consider only operations which combine two elements at a time. A useful model to use is that of a computer program that allows two inputs and combines them in some way to give a single output. If we have an operation on a particular set, then we require that combining two inputs from the set will result in an output belonging to the same set. Furthermore, the output must depend only on the inputs, so that the answer is unique (when two inputs are specified).
数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|binary opera
A binary operation $$ on a set $S$ is a function $: S \times S \rightarrow S$ from the set $S \times S$ of all ordered pairs of elements in $S$ into $S$.
The operation $*$ is said to be associative if $a *(b * c)=(a * b) * c$ for all $a, b, c \in S$.
An element $e \in S$ is called an identity element for $*$ if $a * e=a$ and $e * a=a$ for all $a \in S$.
If $*$ has an identity element $e$, and $a \in S$, then $b \in S$ is said to be an inverse for $a$ if $a * b=e$ and $b * a=e$.
To illustrate these ideas, we can look at some sets of real numbers. We have already noted that multiplication defines a binary operation on $\mathbf{R}$. The number 1 serves as an identity element, and if $a \in \mathbf{R}$ is nonzero, then $1 / a$ is the inverse of $a$. The number 0 has no multiplicative inverse, since $0 \cdot x=1$ has no solution in $\mathbf{R}$. If $S={x \in \mathbf{R} \mid x \geq 1}$, then multiplication defines a binary operation on $S$, and 1 still works as an identity element. But now 1 is the only element of $S$ that has a multiplicative inverse, since if $a>1$, then $1 / a<1$, and thus $1 / a \notin S$. If we redefine $S$ to be ${x \in \mathbf{R} \mid x>1}$, then $S$ does not have an identity element. Finally, as an extreme example, if we choose $S$ to be ${x \in \mathbf{R} \mid x<0}$, then multiplication does not even define a binary operation on $S$, since it is false that the product of any two elements of $S$ again belongs to $S$.
抽象代数代写
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|BETWEEN
在描述算术和代数之间的区别时，可以说算术只处理数字，而代数处理代表数字的字母。抽象的下一步涉及处理甚至可能不代表数字的对象。例如，在学习微积分时，有必要为函数开发一种“算术”。再举一个例子，在处理矩阵时，再次有必要为矩阵运算制定一些规则，这些规则构成了矩阵的“算术”。从代数的角度来看，这些发展的共同点是运算的概念。因此，作为运算，我们有函数的加法、乘法和组合，以及矩阵的加法和乘法。当我们写一种乙例如，对于矩阵的乘积，我们创建了一个符号，使我们可以将其视为类似于普通乘法，即使它表示更复杂的计算。
我们将研究的运算将是二元运算；也就是说，我们将只考虑一次组合两个元素的操作。一个有用的模型是允许两个输入并以某种方式组合它们以给出单个输出的计算机程序模型。如果我们对特定集合进行操作，那么我们要求组合来自集合的两个输入将导致属于同一集合的输出。此外，输出必须仅取决于输入，因此答案是唯一的在H和n吨在这一世np你吨s一种r和sp和C一世F一世和d.
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|. A BINARY OPERA
二元运算 $这n一种s和吨小号一世s一种F你nC吨一世这n: S \times S \rightarrow SFr这米吨H和s和吨S \倍 S这F一种一世一世这rd和r和dp一种一世rs这F和一世和米和n吨s一世n小号一世n吨这新元。
操作∗据说是关联的，如果一种∗(b∗C)=(一种∗b)∗C对全部一种,b,C∈小号.
一个元素和∈小号被称为标识元素∗如果一种∗和=一种和和∗一种=一种对全部一种∈小号.
如果∗有一个身份元素和， 和一种∈小号， 然后b∈小号据说是逆一种如果一种∗b=和和b∗一种=和.
为了说明这些想法，我们可以看一些实数集。我们已经注意到，乘法定义了一个二元运算R. 数字 1 用作标识元素，如果一种∈R非零，则1/一种是的倒数一种. 数字 0 没有乘法逆元，因为0⋅X=1没有解决方案R. 如果小号=X∈R∣X≥1, 然后乘法定义了一个二元运算小号, 并且 1 仍然作为一个标识元素。但是现在 1 是唯一的元素小号有一个乘法逆元，因为如果一种>1， 然后1/一种<1， 因此1/一种∉小号. 如果我们重新定义小号成为X∈R∣X>1， 然后小号没有标识元素。最后，作为一个极端的例子，如果我们选择小号成为X∈R∣X<0, 那么乘法甚至没有定义一个二元运算小号, 因为任意两个元素的乘积是错误的小号再次属于小号.
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