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数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|number of elements
If $H$ is a subgroup of the group $G$, and $a \in G$, then the left coset $a H$ has the same number of elements as $H$.
Proof: Given any left coset $a H$ of $H$, define the function $f: H \rightarrow a H$ by $f(h)=a h$, for all $h \in H$. Then $f$ is one-to-one since if $f\left(h_{1}\right)=f\left(h_{2}\right)$, then $a h_{1}=a h_{2}$ and so $h_{1}=h_{2}$ by the cancellation law. It is obvious that $f$ is onto, and so the one-to-one correspondence $f: H \rightarrow a H$ shows that $a H$ has the same number of elements as $H$.
In the next example we list the left cosets of a given subgroup $H$ of a finite group. For any $a \in H$ we have $a H=H$, so we begin by choosing any element $a$ not in $H$. Then $a H$ is found by listing all products of the form $a h$ for $h \in H$. Now any element in $a H$ determines the same coset, so for the next coset we choose any element not in $H$ or $a H$ (if possible). Continuing in this way provides a method for listing all cosets.
数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|multiplicative group
Let $G$ be the multiplicative group $\mathbf{Z}{11}^{\times}$of nonzero elements of $\mathbf{Z}{11}$. Let $H$ be the subgroup ${[1],[10]}$ generated by [10]. The first coset we can identify is $H$ itself. Choosing an element not in $H$, say [2], we form the products $[2][1]$ and $[2][10]=[9]$, to obtain the coset $[2] H={[2],[9]}$. Next we choose any element not in the first two cosets, say [3], which gives us [3] $H=$ ${[3],[8]}$, since $[3][1]=[3]$ and $[3][10]=[8]$. Continuing in this fashion, we obtain $[4] H={[4],[7]}$ and $[5] H={[5],[6]}$. Thus the cosets of $H$ are the following sets:
$H={[1],[10]}$,
$[2] H={[2],[9]}$,
$[3] H={[3],[8]}$,
$[4] H={[4],[7]}$,
$[5] H={[5],[6]} .$
As another example, let $K={[1],[3],[9],[5],[4]}$ be the subgroup generated by [3]. Since the left cosets all have the same number of elements and we already have a coset with half of the total number of elements, there must be only one other coset, containing the rest of the elements. Thus the left cosets of $K$ are the following sets:
$$
K={[1],[3],[9],[5],[4]}, \quad[2] K={[2],[6],[7],[10],[8]}
$$
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|permutations
Let $G=S_{3}$, the group of all permutations on a set with three elements, and let $G=\left{e, a, a^{2}, b, a b, a^{2} b\right}$, where $a^{3}=e, b^{2}=e$, and $b a=a^{2} b$.
First, let $H$ be the subgroup ${e, b}$. We must be careful since this is the first example in a non-abelian group, so we must distinguish between left and right cosets.
The left cosets of $H$ are easily computed to be
$$
H={e, b}, \quad a H={a, a b}, \quad a^{2} H=\left{a^{2}, a^{2} b\right}
$$
Since $b a=a^{2} b$ and $b a^{2}=a b$, the right cosets of $H$ are
$$
H={e, b}, \quad H a=\left{a, a^{2} b\right}, \quad H a^{2}=\left{a^{2}, a b\right}
$$
Next, let $N$ be the subgroup $\left{e, a, a^{2}\right}$. The left cosets of $N$ are
$$
N=\left{e, a, a^{2}\right}, \quad b N=\left{b, b a, b a^{2}\right}=\left{b, a^{2} b, a b\right},
$$
since $b a=a^{2} b$ and $b a^{2}=a b$. The right cosets of $N$ are
$$
N=\left{e, a, a^{2}\right}, \quad N b=\left{b, a b, a^{2} b\right} .
$$
Note that for the subgroup $N$ the left and right cosets are the same.
If $G$ is an abelian group with the operation denoted by $+$, then the cosets of a subgroup $H$ have the form
$$
a+H={x \in G \mid x=a+h \text { for some } h \in H} .
$$
Proposition 3.8.1 shows that in this case, $a+H=b+H$ if and only if $a-b \in H$.
抽象代数代写
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|NUMBER OF ELEMENTS
如果H是组的一个子组G， 和一种∈G，然后左陪集一种H具有相同数量的元素H.
证明：给定任何左陪集一种H的H, 定义函数F:H→一种H经过F(H)=一种H， 对全部H∈H. 然后F是一对一的，因为如果F(H1)=F(H2)， 然后一种H1=一种H2所以H1=H2根据取消法。很明显，F是到，所以一一对应F:H→一种H表明一种H具有相同数量的元素H.
在下一个例子中，我们列出给定子群的左陪集H的有限群。对于任何一种∈H我们有一种H=H，所以我们从选择任何元素开始一种不在H. 然后一种H通过列出表格的所有产品找到一种H为了H∈H. 现在任何元素一种H确定相同的陪集，因此对于下一个陪集，我们选择不在其中的任何元素H或者一种H 一世Fp这ss一世b一世和. 以这种方式继续提供了一种列出所有陪集的方法。
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|MULTIPLICATIVE GROUP
Let $G$ be the multiplicative group $\mathbf{Z}{11}^{\times}$of nonzero elements of $\mathbf{Z}{11}$. Let $H$ be the subgroup ${[1],[10]}$ generated by [10]. The first coset we can identify is $H$ itself. Choosing an element not in $H$, say [2], we form the products $[2][1]$ and $[2][10]=[9]$, to obtain the coset $[2] H={[2],[9]}$. Next we choose any element not in the first two cosets, say [3], which gives us [3] $H=$ ${[3],[8]}$, since $[3][1]=[3]$ and $[3][10]=[8]$. Continuing in this fashion, we obtain $[4] H={[4],[7]}$ and $[5] H={[5],[6]}$. Thus the cosets of $H$ are the following sets:
$H={[1],[10]}$,
$[2] H={[2],[9]}$,
$[3] H={[3],[8]}$,
$[4] H={[4],[7]}$,
$[5] H={[5],[6]} .$
As another example, let $K={[1],[3],[9],[5],[4]}$ be the subgroup generated by [3]. Since the left cosets all have the same number of elements and we already have a coset with half of the total number of elements, there must be only one other coset, containing the rest of the elements. Thus the left cosets of $K$ are the following sets:
$$
K={[1],[3],[9],[5],[4]}, \quad[2] K={[2],[6],[7],[10],[8]}
$$
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|PERMUTATIONS
让G=小号3，具有三个元素的集合上的所有排列的组，并且让G=\left{e, a, a^{2}, b, a b, a^{2} b\right}G=\left{e, a, a^{2}, b, a b, a^{2} b\right}， 在哪里一种3=和,b2=和， 和b一种=一种2b.
首先，让H成为子群和,b. 我们必须小心，因为这是非阿贝尔群中的第一个例子，所以我们必须区分左陪集和右陪集。
的左陪集H很容易计算为
H={e, b}, \quad a H={a, a b}, \quad a^{2} H=\left{a^{2}, a^{2} b\right}H={e, b}, \quad a H={a, a b}, \quad a^{2} H=\left{a^{2}, a^{2} b\right}
自从b一种=一种2b和b一种2=一种b, 的右陪集H是
H={e, b}, \quad H a=\left{a, a^{2} b\right}, \quad H a^{2}=\left{a^{2}, a b\right}H={e, b}, \quad H a=\left{a, a^{2} b\right}, \quad H a^{2}=\left{a^{2}, a b\right}
接下来，让ñ成为子群\left{e, a, a^{2}\right}\left{e, a, a^{2}\right}. 的左陪集ñ是
N=\left{e, a, a^{2}\right}, \quad b N=\left{b, b a, b a^{2}\right}=\left{b, a^{2} b ， 光明}，N=\left{e, a, a^{2}\right}, \quad b N=\left{b, b a, b a^{2}\right}=\left{b, a^{2} b ， 光明}，
自从b一种=一种2b和b一种2=一种b. 的正确陪集ñ是
N=\left{e, a, a^{2}\right}, \quad N b=\left{b, a b, a^{2} b\right} 。N=\left{e, a, a^{2}\right}, \quad N b=\left{b, a b, a^{2} b\right} 。
请注意，对于子组ñ左右陪集是相同的。
如果G是一个阿贝尔群，其运算记为+, 那么子群的陪集H有表格
一种+H=X∈G∣X=一种+H 对于一些 H∈H.
命题 3.8.1 表明，在这种情况下，一种+H=b+H当且仅当一种−b∈H.
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