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数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|congruent modulo
Let $F$ be a field, and let $p(x)$ be a fixed polynomial over $F$. If $a(x), b(x) \in F[x]$, then we say that $a(x)$ and $b(x)$ are congruent modulo $p(x)$, written $a(x) \equiv b(x)(\bmod p(x))$, if $p(x) \mid(a(x)-b(x))$.
The set ${b(x) \in F[x] \mid a(x) \equiv b(x)(\bmod p(x))}$ is called the congruence class of $a(x)$, and will be denoted by $[a(x)]$.
The set of all congruence classes modulo $p(x)$ will be denoted by $F[x] /\langle p(x)\rangle$.
The reason for the notation $F[x] /\langle p(x)\rangle$ will become clear in Chapter 5 .
We first note that congruence of polynomials defines an equivalence relation. Then since $a(x) \equiv b(x)$ (mod $p(x)$ ) if and only if $a(x)-b(x)=q(x) p(x)$ for some $q(x) \in F[x]$, the polynomials in the congruence class of $a(x)$ modulo $p(x)$ must be precisely the polynomials of the form $b(x)=a(x)+q(x) p(x)$, for some $q(x)$. We gave a similar description for the congruence classes of $\mathbf{Z}_{n}$.
When working with congruence classes modulo $n$, we have often chosen to work with the smallest nonnegative number in the class. Similarly, when working with congruence classes of polynomials, the polynomial of lowest degree in the congruence class is a natural representative. The next proposition guarantees that this representative is unique.
数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|Let F be a fie
Let $F$ be a field, let $p(x)$ be a nonzero polynomial in $F[x]$, and let $a(x)$ be any polynomial in $F[x]$. If $p(x)$ is not a factor of $a(x)$, then the congruence class $[a(x)]$ modulo $p(x)$ contains exactly one polynomial $r(x)$ with $\operatorname{deg}(r(x))<\operatorname{deg}(p(x))$.
Proof. Given $a(x) \in F[x]$, we can use the division algorithm to write
$$
a(x)=q(x) p(x)+r(x),
$$
with $\operatorname{deg}(r(x))<\operatorname{deg}(p(x))$ or $r(x)=0$. The assumption that $p(x)$ is not a divisor of $a(x)$ eliminates the case in which $r(x)=0$.
Solving for $r(x)$ in the above equation shows it to be in the congruence class $[a(x)]$. The polynomial $r(x)$ is the only representative with this property, since if
$$
b(x) \equiv a(x)(\bmod p(x))
$$
and $\operatorname{deg}(b(x))<\operatorname{deg}(p(x))$, then
$$
b(x) \equiv r(x)(\bmod p(x))
$$
and so $p(x) \mid(b(x)-r(x))$. This is a contradiction unless $b(x)=r(x)$, since either $\operatorname{deg}(b(x)-r(x))<\operatorname{deg}(p(x))$ or $b(x)-r(x)=0$.
抽象代数代写
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|CONGRUENT MODULO
让F是一个场，让p(X)是一个固定多项式F. 如果一种(X),b(X)∈F[X]，那么我们说一种(X)和b(X)是全等模p(X), 写一种(X)≡b(X)(反对p(X))， 如果p(X)∣(一种(X)−b(X)).
套装b(X)∈F[X]∣一种(X)≡b(X)(反对p(X))称为同余类一种(X), 并将表示为[一种(X)].
所有同余类的集合模p(X)将表示为F[X]/⟨p(X)⟩.
记号的原因F[X]/⟨p(X)⟩将在第 5 章中阐明。
我们首先注意到多项式的同余定义了等价关系。那么自从一种$a(x) \equiv b(x)$ (mod $p(x)$ ) if and only if $a(x)-b(x)=q(x) p(x)$ for some $q(x) \in F[x]$, the polynomials in the congruence class of $a(x)$ modulo $p(x)$ must be precisely the polynomials of the form $b(x)=a(x)+q(x) p(x)$, for some $q(x)$. We gave a similar description for the congruence classes of $\mathbf{Z}_{n}$.
使用同余类模数时n，我们经常选择使用班级中最小的非负数。类似地，当使用多项式的同余类时，同余类中度数最低的多项式是自然代表。下一个命题保证这个代表是独一无二的。
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|LET F BE A FIE
让F成为一个领域，让p(X)是一个非零多项式F[X]， 然后让一种(X)是任何多项式F[X]. 如果p(X)不是一个因素一种(X), 那么同余类[一种(X)]模块p(X)恰好包含一个多项式r(X)和你(r(X))<你(p(X)).
证明。给定一种(X)∈F[X]，我们可以用除法算法写成
一种(X)=q(X)p(X)+r(X),
和你(r(X))<你(p(X))或者r(X)=0. 假设p(X)不是的除数一种(X)消除了这种情况r(X)=0.
解决r(X)在上面的等式中表明它在同余类中[一种(X)]. 多项式r(X)是具有此属性的唯一代表，因为如果
b(X)≡一种(X)(反对p(X))
和你(b(X))<你(p(X))， 然后
b(X)≡r(X)(反对p(X))
所以p(X)∣(b(X)−r(X)). 这是一个矛盾，除非b(X)=r(X), 因为要么你(b(X)−r(X))<你(p(X))或者b(X)−r(X)=0.
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