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数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|proof of Theorem
In dividing the polynomial $6 x^{4}-2 x^{3}+x^{2}+5 x-18$ by $2 x^{2}-3$, the first step is to divide $6 x^{4}$ by $2 x^{2}$, to get $3 x^{2}$. The next step is to multiply $2 x^{2}-3$ by $3 x^{2}$ and subtract the result from $6 x^{4}-2 x^{3}+x^{2}+5 x-18$. The algorithm for division of polynomials then proceeds much like the algorithm for division of integers, as shown in Figure 4.2.1.
Thus $6 x^{4}-2 x^{3}+x^{2}+5 x-18=\left(3 x^{2}-x+5\right)\left(2 x^{2}-3\right)+(2 x-3)$, where the last term is the remainder.
The proof of Theorem $4.2 .1$ is merely a formal verification, using induction, that the procedure followed in Example 4.2.1 will always work. The polynomials $q(x)$ and $r(x)$ given by the theorem, with $f(x)=q(x) g(x)+r(x)$, are called (as expected) the quotient and remainder when $f(x)$ is divided by $g(x)$. Notice that if we divide polynomials with coefficients in a given field, then the quotient and remainder must have coefficients from the same field.
The division algorithm for integers (Theorem 1.1.3) was stated for integers $a$ and $b$, with $b>0$. It is easily extended to a statement that is parallel to the next theorem for polynomials: For any $a, b \in \mathbf{Z}$ with $b \neq 0$, there exist unique integers $q$ and $r$ such that $a=b q+r$, with $0 \leq r<|b|$. The role played by the absolute value of an integer is now played by the degree of a polynomial. Note that assigning the degree $-\infty$ to the zero polynomial would simplify the statement of the division algorithm, requiring simply that the degree of the remainder be less than the degree of the divisor.
数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|Theorem (Division)
For any polynomials $f(x)$ and $g(x)$ in $F[x]$, with $g(x) \neq 0$, there exist unique polynomials $q(x), r(x) \in F[x]$ such that
$$
f(x)=q(x) g(x)+r(x),
$$
where either $\operatorname{deg}(r(x))<\operatorname{deg}(g(x))$ or $r(x)=0$.
Proof. Let
$$
f(x)=a_{m} x^{m}+\ldots+a_{1} x+a_{0}
$$
and
$$
g(x)=b_{n} x^{n}+\ldots+b_{0}
$$
where $a_{m} \neq 0$ and $b_{n} \neq 0$. In case $f(x)$ has lower degree than $g(x)$, we can simply take $q(x)=0$ and $r(x)=f(x)$. The proof of the other case will use induction on the degree of $f(x)$.
If $f(x)$ has degree zero, it is easy to see that the theorem holds. Now assume that the theorem is true for all polynomials $f(x)$ of degree less than $m$. (We are assuming that $m \geq n$.) The reduction to a polynomial of lower degree is achieved by using the procedure outlined in Example 4.2.1. We divide $a_{m} x^{m}$ by $b_{n} x^{n}$ to get $a_{m} b_{n}^{-1} x^{m-n}$, then multiply by $g(x)$ and subtract from $f(x)$. This gives
$$
f_{1}(x)=f(x)-a_{m} b_{n}^{-1} x^{m-n} g(x),
$$
where $f_{1}(x)$ has degree less than $m$ since the leading term of $f(x)$ has been cancelled by $a_{m} b_{n}^{-1} x^{m-n} b_{n} x^{n}$. Now by the induction hypothesis we can write
$$
f_{1}(x)=q_{1}(x) g(x)+r(x),
$$
where the degree of $r(x)$ is less than $n$, unless $r(x)=0$. Since
$$
f(x)=f_{1}(x)+a_{m} b_{n}^{-1} x^{m-n} g(x),
$$
substitution gives the desired result:
$$
f(x)=\left(q_{1}(x)+a_{m} b_{n}^{-1} x^{m-n}\right) g(x)+r(x) .
$$
抽象代数代写
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|PROOF OF THEOREM
在划分多项式6X4−2X3+X2+5X−18经过2X2−3, 第一步是除6X4经过2X2， 要得到3X2. 下一步是乘法2X2−3经过3X2并从中减去结果6X4−2X3+X2+5X−18. 多项式除法的算法然后很像整数除法的算法，如图 4.2.1 所示。
因此6X4−2X3+X2+5X−18=(3X2−X+5)(2X2−3)+(2X−3)，其中最后一项是余数。
定理的证明4.2.1只是使用归纳的形式验证，示例 4.2.1 中遵循的过程将始终有效。多项式q(X)和r(X)由定理给出，与F(X)=q(X)G(X)+r(X)， 被称为一种s和Xp和C吨和d商和余数F(X)被除以G(X). 请注意，如果我们将多项式与给定字段中的系数相除，则商和余数必须具有来自同一字段的系数。
整数的除法算法吨H和这r和米1.1.3被声明为整数一种和b， 和b>0. 它很容易扩展到与多项式的下一个定理平行的陈述：对于任何一种,b∈从和b≠0, 存在唯一整数q和r这样一种=bq+r， 和0≤r<|b|. 整数的绝对值所起的作用现在由多项式的次数所起。请注意，分配学位−∞到零多项式将简化除法算法的陈述，只要求余数的次数小于除数的次数。
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|THEOREM (DIVISION)
对于任何多项式F(X)和G(X)在F[X]， 和G(X)≠0, 存在唯一多项式q(X),r(X)∈F[X]这样
F(X)=q(X)G(X)+r(X),
在哪里你(r(X))<你(G(X))或者r(X)=0.
证明。让
F(X)=一种米X米+…+一种1X+一种0
和
G(X)=bnXn+…+b0
在哪里一种米≠0和bn≠0. 如果F(X)学位低于G(X)，我们可以简单地取q(X)=0和r(X)=F(X). 另一种情况的证明将在度数上使用归纳法F(X).
如果F(X)度数为零，很容易看出定理成立。现在假设该定理对所有多项式都成立F(X)学位小于米.在和一种r和一种ss你米一世nG吨H一种吨$米≥n$.通过使用示例 4.2.1 中概述的过程，可以将多项式简化为低阶多项式。我们分一种米X米经过bnXn要得到一种米bn−1X米−n，然后乘以G(X)并从中减去F(X). 这给
F1(X)=F(X)−一种米bn−1X米−nG(X),
在哪里F1(X)学位小于米由于领导任期F(X)已被取消一种米bn−1X米−nbnXn. 现在通过归纳假设我们可以写
F1(X)=q1(X)G(X)+r(X),
其中程度r(X)小于n， 除非r(X)=0. 自从
F(X)=F1(X)+一种米bn−1X米−nG(X),
替换给出了期望的结果：
F(X)=(q1(X)+一种米bn−1X米−n)G(X)+r(X).
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