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抽象代数abstract algebra如果你在街上问别人这个问题，最可能的回答是。”一些与X、Y和Z有关的可怕的事情”。如果你足够幸运，碰到了一个数学家，那么你可能会得到这样的回答。”代数是对我们的组成直觉的抽象封装。我们对组合的直觉”。我们所说的构成，是指两个物体在一起形成一个新物体的概念，一起形成一个新的对象。例如，将两个数字相加，或将实值的单变量函数。我们将发现，看似简单的组合概念中隐藏着巨大的隐藏深度。代数渗透到我们所有的数学直觉中。事实上，概念是这个学科的基础。
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数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|graph of the function
The concept of a function should already be familiar from the calculus and linear algebra courses which we assume as a prerequisite for this book. At that level, it is standard to define a function $f$ from a set $S$ of real numbers into a set $T$ of real numbers to be a “rule” that assigns to each real number $x$ in $S$ a unique real number $y$ in $T$. An example would be the function $f(x)$ given by the rule $f(x)=x^{2}+3$, where $f$ assigns to 1 the value 4 , to 2 the value 7 , and so on.
The graph of the function $f(x)=x^{2}+3$ is the set of points in the real plane described by $\left{(x, y) \mid y=x^{2}+3\right}$. Using the “rule” definition of a function recalled in the previous paragraph, a set of points in the plane is the graph of a function from the set of all real numbers into the set of all real numbers if and only if for each real number $x$ there is a unique number $y$ such that $(x, y)$ belongs to the set. In a calculus course this is often expressed by saying that a set of points in the plane is the graph of a function if and only if every vertical line intersects the set in exactly one point.
In our development, we have chosen to take the concepts of set and element of a set as primitive (undefined) ideas. See Section A.1 of the appendix for a quick review of some basic set theory. The approach we will take is to define functions in terms of sets, and so we will do this by identifying a function with its graph.
It is convenient to introduce some notation for the sets we will be using. The symbol $\mathbf{R}$ will be used to denote the set of all real numbers. We will leave the precise development of the real numbers to a course in advanced calculus and simply view them as the set of all decimal numbers. They can be viewed as coordinates of points on a straight line, as in an introductory calculus course.
数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|Cartesian product
We will use the symbol $\mathbf{Q}$ to denote the set of ratios of integers, or rational numbers; that is
$$
\mathbf{Q}=\left{\frac{m}{n} \mid m, n \in \mathbf{Z} \text { and } n \neq 0\right}
$$
where we must agree that $m / n$ and $p / q$ represent the same ratio if $m q=n p$. We can view the set of integers $\mathbf{Z}$ as a subset of $\mathbf{Q}$ by identifying the integer $m$ with the fraction $m / 1$. We also have $\mathbf{Q} \subseteq \mathbf{R}$, since fractions correspond to either terminating or repeating decimals. The numbers in $\mathbf{R}$ but not $\mathbf{Q}$ are said to be irrational.
The set of complex numbers is $\mathbf{C}=\left{a+b i \mid a, b \in \mathbf{R}, i^{2}=-1\right}$, where $a+b i=c+d i$ if and only if $a=c$ and $b=d$. The real part of $a+b i$ is $a$, and the imaginary part is $b$. Addition and multiplication are defined on $\mathbf{C}$ as follows:
$$
\begin{gathered}
(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d) i \
(a+b i)(c+d i)=(a c-b d)+(a d+b c) i
\end{gathered}
$$
See Section A.5 of the appendix for more details on the properties of complex numbers, which will be developed from a more rigorous point of view in Section 4.3.
We now return to the definition of a function. To describe the graph of a function, we need to consider ordered pairs. Let $A$ and $B$ be any sets. The Cartesian
product of $A$ and $B$ is formed from ordered pairs of elements of $A$ and $B$. Formally, we define the Cartesian product of $A$ and $B$ as
$$
A \times B={(a, b) \mid a \in A \text { and } b \in B}
$$
In this set, ordered pairs $\left(a_{1}, b_{1}\right)$ and $\left(a_{2}, b_{2}\right)$ are equal if and only if $a_{1}=a_{2}$ and $b_{1}=b_{2}$. For example, if $A={1,2,3}$ and $B={4,5,6}$, then
$$
A \times B={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)}
$$
Since the use of ordered pairs of elements should be familiar from calculus and linear algebra courses, we will not go into further detail on Cartesian products at this point. (If there is any possibility of confusing the greatest common divisor of the integers $m$ and $n$ with an ordered pair, we will write $\operatorname{gcd}(m, n)$ for the greatest common divisor.)
抽象代数代写
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|GRAPH OF THE FUNCTION
函数的概念应该已经从微积分和线性代数课程中熟悉，我们假设这是本书的先决条件。在那个级别，定义一个函数是标准的F从一组小号实数成集合吨实数是分配给每个实数的“规则”X在小号唯一的实数是在吨. 一个例子是函数F(X)由规则给出F(X)=X2+3， 在哪里F将值 4 分配给 1 ，将值 7 分配给 2 ，依此类推。
函数图F(X)=X2+3是真实平面中的点集，由\left{(x, y) \mid y=x^{2}+3\right}\left{(x, y) \mid y=x^{2}+3\right}. 使用上一段中提到的函数的“规则”定义，平面中的一组点是从所有实数集合到所有实数集合的函数的图当且仅当对于每个实数X有一个唯一的号码是这样(X,是)属于集合。在微积分课程中，这通常表示为平面上的一组点是函数的图当且仅当每条垂直线与该组恰好在一个点相交。
在我们的开发中，我们选择将集合和集合元素的概念作为原始概念你nd和F一世n和d想法。有关一些基本集合论的快速回顾，请参见附录的 A.1 节。我们将采用的方法是根据集合定义函数，因此我们将通过使用其图形识别函数来做到这一点。
为我们将使用的集合引入一些符号很方便。符号R将用于表示所有实数的集合。我们将把实数的精确发展留给高级微积分课程，并简单地将它们视为所有十进制数的集合。它们可以被视为直线上点的坐标，就像在微积分入门课程中一样。
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|CARTESIAN PRODUCT
我们将使用符号问表示整数比或有理数的集合；那是
\mathbf{Q}=\left{\frac{m}{n} \mid m, n \in \mathbf{Z} \text { and } n \neq 0\right}\mathbf{Q}=\left{\frac{m}{n} \mid m, n \in \mathbf{Z} \text { and } n \neq 0\right}
我们必须同意米/n和p/q表示相同的比率，如果米q=np. 我们可以查看整数集从作为一个子集问通过识别整数米与分数米/1. 我们还有问⊆R，因为分数对应于终止小数或重复小数。中的数字R但不是问据说是不合理的。
复数集是\mathbf{C}=\left{a+b i \mid a, b \in \mathbf{R}, i^{2}=-1\right}\mathbf{C}=\left{a+b i \mid a, b \in \mathbf{R}, i^{2}=-1\right}， 在哪里一种+b一世=C+d一世当且仅当一种=C和b=d. 真实的部分一种+b一世是一种, 虚部是b. 加法和乘法定义在C如下：
(一种+b一世)+(C+d一世)=(一种+C)+(b+d)一世 (一种+b一世)(C+d一世)=(一种C−bd)+(一种d+bC)一世
有关复数性质的更多详细信息，请参见附录的 A.5 节，这将在 4.3 节中从更严格的角度展开。
我们现在回到函数的定义。为了描述函数的图形，我们需要考虑有序对。让一种和乙是任何集合。笛卡尔
的产品一种和乙由有序的元素对组成一种和乙. 形式上，我们定义的笛卡尔积一种和乙作为
一种×乙=(一种,b)∣一种∈一种 和 b∈乙
在这个集合中，有序对(一种1,b1)和(一种2,b2)相等当且仅当一种1=一种2和b1=b2. 例如，如果一种=1,2,3和乙=4,5,6， 然后
一种×乙=(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)
由于有序元素对的使用在微积分和线性代数课程中应该很熟悉，因此我们在此不再详细介绍笛卡尔积。一世F吨H和r和一世s一种n是p这ss一世b一世一世一世吨是这FC这nF你s一世nG吨H和Gr和一种吨和s吨C这米米这nd一世v一世s这r这F吨H和一世n吨和G和rs$米$一种nd$n$在一世吨H一种n这rd和r和dp一种一世r,在和在一世一世一世在r一世吨和$gcd(米,n$ 为最大公约数。）
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