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抽象代数abstract algebra如果你在街上问别人这个问题，最可能的回答是。”一些与X、Y和Z有关的可怕的事情”。如果你足够幸运，碰到了一个数学家，那么你可能会得到这样的回答。”代数是对我们的组成直觉的抽象封装。我们对组合的直觉”。我们所说的构成，是指两个物体在一起形成一个新物体的概念，一起形成一个新的对象。例如，将两个数字相加，或将实值的单变量函数。我们将发现，看似简单的组合概念中隐藏着巨大的隐藏深度。代数渗透到我们所有的数学直觉中。事实上，概念是这个学科的基础。
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We will now study one-to-one correspondences in more detail, particularly for finite sets. Our emphasis in this section will be on computations with such functions. We need to develop some notation that will make it easier to work with such functions, especially when finding the composite of two functions. We will change our notation slightly, using Greek letters for permutations, and instead of writing $\sigma \circ \tau$ for the composite of two permutations, we will simply write $\sigma \tau$, and refer to this as the product of the two permutations.
2.3.1 Definition. Let $S$ be a set. A function $\sigma: S \rightarrow S$ is called a permutation of $S$ if $\sigma$ is one-to-one and onto.
The set of all permutations of $S$ will be denoted by $\operatorname{Sym}(S)$.
The set of all permutations of the set ${1,2, \ldots, n}$ will be denoted by $S_{n}$.
Proposition 2.1.5 shows that the composite of two permutations in $\operatorname{Sym}(S)$ is again a permutation. The composition of permutations is associative, by Proposition 2.1.3. It is obvious that the identity function on $S$ is one-to-one and onto. Proposition 2.1.7 shows that any permutation in $\operatorname{Sym}(S)$ has an inverse function that is also one-to-one and onto. We can summarize these important properties as follows:
(i) if $\sigma, \tau \in \operatorname{Sym}(S)$, then $\tau \sigma \in \operatorname{Sym}(S)$;
(ii) $1_{S} \in \operatorname{Sym}(S)$;
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The following definition is given in Section 3.6: a subset $G$ of $\operatorname{Sym}(S)$ is called a group of permutations if (i) $\sigma \tau \in G$ whenever $\sigma, \tau \in G$; (ii) $1_{S} \in G$; (iii) $\sigma^{-1} \in G$ whenever $\sigma \in G$. Then Cayley’s theorem (Theorem 3.6.2) shows that any abstract group can be viewed as a group of permutations.
We need to develop some notation for working with permutations in $S_{n}$. Given $\sigma \in S_{n}$, note that $\sigma$ is completely determined as soon as we know $\sigma(1), \sigma(2), \ldots$, $\sigma(n)$, and so we introduce the notation
$$
\sigma=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & \cdot & \cdot & n \
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdot & \cdot & \sigma(n)
\end{array}\right)
$$
where under each integer $i$ we write the image of $i$.
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我们现在将更详细地研究一一对应，特别是对于有限集。我们在本节中的重点将放在使用此类函数的计算上。我们需要开发一些符号，以便更容易使用这些函数，尤其是在找到两个函数的复合时。我们将稍微改变我们的符号，使用希腊字母进行排列，而不是写作σ∘τ对于两个排列的复合，我们将简单地写στ，并将其称为两个排列的乘积。
2.3.1 定义。让小号成为一个集合。一个函数σ:小号→小号被称为置换小号如果σ是一对一的。
的所有排列的集合小号将表示为符号(小号).
集合的所有排列的集合1,2,…,n将表示为小号n.
命题 2.1.5 表明两个排列的复合符号(小号)又是一个排列。根据命题 2.1.3，排列的组合是关联的。很明显，恒等函数小号是一对一的。命题 2.1.7 表明，在符号(小号)有一个反函数，也是一对一的。我们可以将这些重要属性总结如下：
一世如果σ,τ∈符号(小号)， 然后τσ∈符号(小号);
一世一世 1小号∈符号(小号);
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3.6 节给出了以下定义：子集G的符号(小号)称为一组排列，如果一世 στ∈G每当σ,τ∈G;一世一世 1小号∈G;一世一世一世 σ−1∈G每当σ∈G. 那么凯莱定理吨H和这r和米3.6.2表明任何抽象组都可以看作是一组排列。
我们需要开发一些符号来处理排列小号n. 给定σ∈小号n， 注意σ我们一知道就完全确定了σ(1),σ(2),…,σ(n), 所以我们引入符号
σ=(12⋅⋅n σ(1)σ(2)⋅⋅σ(n))
在每个整数下一世我们写下图像一世.
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