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数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|Proposition
Let $G$ be a group with identity element e, and let $H$ be a subset of $G$. Then $H$ is a subgroup of $G$ if and only if the following conditions hold:
(i) $a b \in H$ for all $a, b \in H$;
(ii) $e \in H$;
(iii) $a^{-1} \in H$ for all $a \in H$.
Proof. First, assume that $H$ is a subgroup of $G$. Since $H$ is a group under the operation of $G$, the closure axiom guarantees that $a b$ must belong to $H$ whenever $a, b$ belong to $H$. There must be an identity element, say $e^{\prime}$, for $H$. Then considering the product in $H$, we have $e^{\prime} e^{\prime}=e^{\prime}$. Now consider the same product as an element of $G$. Then we can write $e^{\prime} e^{\prime}=e^{\prime} e$, and the cancellation law yields $e^{\prime}=e$. Finally, if $a \in H$, then $a$ must have an inverse $b$ in $H$, with $a b=e$. But then in $G$ we have $a b=e=a a^{-1}$, and the cancellation law implies that $a^{-1}=b$ is an element of $H$.
Conversely, suppose that $H$ is a subset of $G$ that satisfies the given conditions. Condition (i) shows that the operation of $G$ defines a binary operation on $H$, and so the closure axiom holds. If $a, b, c \in H$, then in $G$ we have the equation $a(b c)=$ $(a b) c$, and so by considering this as an equation in $H$ we see that $H$ inherits the associative law. Conditions (ii) and (iii) assure that $H$ has an identity element, and that every element of $H$ has an inverse in $H$, since these elements have the same properties in $H$ as they do when viewed as elements of $G$.
数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|Coroll
Conversely, suppose that $H$ is a nonempty subset of $G$ such that $a b^{-1} \in H$ for all $a, b \in H$. Since $H$ is nonempty, there is at least one element $a$ that belongs to $H$. Then $e \in H$ since $e=a a^{-1}$, and this product belongs to $H$ by assumption. Next, if $a \in H$, then $a^{-1}$ can be expressed in the form $a^{-1}=e a^{-1}$, and this product must belong to $H$ since $e$ and $a$ belong to $H$. Finally, we must show that $H$ is closed under products: if $a, b \in H$, then we have already shown that $b^{-1} \in H$. We can express $a b$ in the form $a\left(b^{-1}\right)^{-1}$, and then the given condition shows that $a b$ must belong to $H$.
If the subset in question known to be finite (and nonempty), then it is only necessary to check the closure axiom. This is a bit surprising, but very useful. The crucial step in the proof of the next corollary is to show that in this case the inverse of each element in the set can be expressed as a positive power of the element.
抽象代数代写
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|PROPOSITION
让G是一个具有单位元素 e 的群，并且让H成为的一个子集G. 然后H是一个子群G当且仅当以下条件成立：
一世 一种b∈H对全部一种,b∈H;
一世一世 和∈H;
一世一世一世 一种−1∈H对全部一种∈H.
证明。首先，假设H是一个子群G. 自从H是一个集团下的操作G, 闭包公理保证一种b必须属于H每当一种,b属于H. 必须有一个身份元素，比如说和′， 为了H. 然后考虑产品H， 我们有和′和′=和′. 现在考虑相同的产品作为元素G. 然后我们可以写和′和′=和′和, 和取消律产生和′=和. 最后，如果一种∈H， 然后一种必须有逆b在H， 和一种b=和. 但随后在G我们有一种b=和=一种一种−1，并且取消定律意味着一种−1=b是一个元素H.
相反，假设H是的一个子集G满足给定条件。健康）状况一世表明操作G定义了一个二元运算H，所以闭包公理成立。如果一种,b,C∈H，然后在G我们有方程一种(bC)= (一种b)C，因此通过将其视为H我们看到H继承结合律。条件一世一世和一世一世一世保证H有一个标识元素，并且每个元素H有一个逆H, 因为这些元素在H就像它们被视为元素时所做的那样G.
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|COROLL
相反，假设H是一个非空子集G这样一种b−1∈H对全部一种,b∈H. 自从H非空，至少有一个元素一种属于H. 然后和∈H自从和=一种一种−1, 该产品属于H通过假设。接下来，如果一种∈H， 然后一种−1可以表示为一种−1=和一种−1，并且该产品必须属于H自从和和一种属于H. 最后，我们必须证明H在产品下关闭：如果一种,b∈H, 那么我们已经证明了b−1∈H. 我们可以表达一种b在表格中一种(b−1)−1，然后给定的条件表明一种b必须属于H.
如果所讨论的子集已知是有限的一种ndn这n和米p吨是，那么只需要检查闭包公理。这有点令人惊讶，但非常有用。证明下一个推论的关键步骤是证明在这种情况下，集合中每个元素的逆可以表示为元素的正幂。
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