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数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|integral roots
Suppose that we wish to find all integral roots of
$$
f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x-6 .
$$
Using Proposition 4.4.1, all rational roots of $f(x)$ can be found by testing only a finite number of values. By considering the signs we can see that $f(x)$ cannot have any negative roots, so we only need to check the positive factors of 6 . Substituting, we obtain $f(1)=-6, f(2)=-6$, and $f(3)=0$. Thus 3 is a root of $f(x)$, and so we can use the division algorithm to show that
$$
x^{3}-3 x^{2}+2 x-6=\left(x^{2}+2\right)(x-3)
$$
It is now clear that 6 is not a root, and we are done.
数学代写|抽象代数代写abstract algebra代考|Let F be a fie
Let $f(x) \in \mathbf{Z}[x]$. If $c$ is an integral root of $f(x)$, then $f(x)=q(x)(x-c)$ for some polynomial $q(x)$. The proof of the remainder theorem (Theorem 4.1.9) uses the fact that
$$
x^{n}-c^{n}=(x-c)\left(x^{n-1}+c x^{n-2}+\ldots+c^{n-2} x+c^{n-1}\right) .
$$
Since $c$ is an integer, a further analysis of the proof shows that $q(x) \in \mathbf{Z}[x]$. For any integer $n$, we must have $f(n)=q(n)(n-c)$, and since $f(n), q(n) \in$ $\mathbf{Z}$, this shows that $(c-n) \mid f(n)$.
This observation can be combined with Proposition 4.4.1 to find the integer (and thus rational) roots of monic equations such as
$$
x^{3}+15 x^{2}-3 x-6=0 .
$$
By Proposition 4.4.1, the possible rational roots are $\pm 1, \pm 2, \pm 3$, and $\pm 6$. Letting $f(x)=x^{3}+15 x^{2}-3 x-6$, we find that $f(1)=7$, so for any root $c$, we have $(c-1) \mid 7$. This eliminates all of the possible values except $c=2$
and $c=-6$. We find that $f(2)=56$, so 2 is not a root. This shows, in addition, that $(c-2) \mid 56$ for any root $c$, but $-6$ still passes this test. Finally, $f(-6)=336$, and so this eliminates $-6$, and $f(x)$ has no rational roots. We have also shown, by Proposition $4.2 .7$, that the polynomial
$$
f(x)=x^{3}+15 x^{2}-3 x-6
$$
is irreducible in $\mathbf{Q}[x]$.
抽象代数代写
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|INTEGRAL ROOTS
假设我们希望找到所有的积分根
F(X)=X3−3X2+2X−6.
使用命题 4.4.1，所有有理根F(X)可以通过仅测试有限数量的值来找到。通过考虑迹象，我们可以看到F(X)不能有任何负根，所以我们只需要检查 6 的正因子。代入，我们得到F(1)=−6,F(2)=−6， 和F(3)=0. 因此 3 是F(X)，所以我们可以使用除法算法来证明
X3−3X2+2X−6=(X2+2)(X−3)
现在很清楚 6 不是根，我们完成了。
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|LET F BE A FIE
让F(X)∈从[X]. 如果C是一个整数根F(X)， 然后F(X)=q(X)(X−C)对于一些多项式q(X). 余数定理的证明吨H和这r和米4.1.9使用以下事实
Xn−Cn=(X−C)(Xn−1+CXn−2+…+Cn−2X+Cn−1).
自从C是一个整数，对证明的进一步分析表明q(X)∈从[X]. 对于任何整数n, 我们必须有F(n)=q(n)(n−C)，并且由于F(n),q(n)∈ 从，这表明(C−n)∣F(n).
这个观察可以结合命题 4.4.1 来找到整数一种nd吨H你sr一种吨一世这n一种一世一元方程的根，例如
X3+15X2−3X−6=0.
根据命题 4.4.1，可能的有理根是±1,±2,±3， 和±6. 让F(X)=X3+15X2−3X−6, 我们发现F(1)=7, 所以对于任何根C， 我们有(C−1)∣7. 这消除了所有可能的值，除了C=2
和C=−6. 我们发现F(2)=56，所以 2 不是根。此外，这表明(C−2)∣56对于任何根C， 但−6仍然通过了这个测试。最后，F(−6)=336, 所以这就消除了−6， 和F(X)没有理性的根源。我们还通过命题表明4.2.7，即多项式
F(X)=X3+15X2−3X−6
是不可约的问[X].
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