如果你也在 怎样代写离散数学discrete math这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。离散数学discrete math是研究可以被认为是 “离散”（类似于离散变量，与自然数集有偏射）而不是 “连续”（类似于连续函数）的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下，离散数学不包括 “连续数学 “中的课题，如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举；更正式地说，离散数学被定性为处理可数集的数学分支（有限集或与自然数具有相同心数的集）。然而，”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。
离散数学discrete math的研究在二十世纪后半叶有所增加，部分原因是数字计算机的发展，它以 “离散 “的步骤操作，并以 “离散 “的比特存储数据。离散数学的概念和符号在研究和描述计算机科学分支的对象和问题时非常有用，如计算机算法、编程语言、密码学、自动定理证明和软件开发。反过来说，计算机实现在将离散数学的思想应用于现实世界的问题中也很重要，例如在运筹学中。
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数学代写|离散数学代写discrete math代考|The idea of a rooted tree
You have seen trees as data structures for solving a variety of different kinds of problems. Mathematically speaking, a tree is a geometric figure consisting of vertices and edges but of special kind. We think of vertices as points in the plane and we think of edges as line segments. In this section we will study some of the properties of trees that are useful in computer science. Most, but not all, of the trees we use in computer science have a special vertex called a root. Such trees are usually called “rooted trees.” We could certainly describe what we mean by a rooted tree in ordinary English. However it is particularly easy to give a recursive description of what we mean by a rooted tree. We say
A vertex $P$ is a rooted tree with root $P$.
If $T_{1}, T_{2}, \ldots T_{k}$ are rooted trees with roots $R_{i}$, and $P$ is a vertex, then drawing edges from $P$ to each of the roots $R_{i}$ gives a rooted tree $T$ with root $P$. We call the trees $T_{1}$, $T_{2}, \ldots T_{k}$ subtrees of the root $P$ our rooted tree $T$.
Any geometric figure we can construct by using these two rules is called a rooted tree. Just as we don’t really define points and lines in geometry, we won’t formally define the terms vertex and edge here. We do note that a standard synonym for vertex is node, and that edges represent relationships between vertices. In Figure $4.1$ we show first a single vertex. We then imagine three trees which are copies of this single vertex and connect them to a new root. Finally we take two copies of the resulting tree and attach them to a new root.
数学代写|离散数学代写discrete math代考|The number of vertices and edges in a tree
In Exercise 4.3-1 you saw that each of your 7-vertex trees had six edges. This suggests a pattern, namely that a rooted tree with $n$ vertices has $n-1$ edges. How would we go about proving that? Well, a rooted tree with one vertex has no edges, because in our recursive definition the only way to get a tree with one vertex is to take a single vertex called a root. (That sounds like a base step for an inductive proof, doesn’t it?) If we have a rooted tree, it has a root vertex attached by edges to a certain number, say $k$, of trees. If these $k$ trees have sizes $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k}$, then we may assume inductively that they have $n_{1}-1, n_{2}-1, \ldots, n_{k}-1$ edges respectively. (That should sound like the inductive hypothesis of an inductive proof.) If our original tree has $n$ vertices, then these trees have a total of $n-1=\sum_{i=1}^{k} n_{i}$ vertices and
$$
\sum_{i=1}^{k}\left(n_{i}-1\right)=\left(\sum_{i=1}^{k} n_{i}\right)-k=n-1-k
$$
edges. In addition to these vertices and edges, our original tree has 1 more vertex and $k$ more edges (those that connect the subtrees to the root). Thus our original rooted tree has $(n-1-k)+k=$ $n-1$ edges. Therefore by the (strong) principle of mathematical induction, a rooted tree on $n$ vertices has $n-1$ edges.
Notice how this inductive proof mirrored the recursive definition of a rooted tree. Notice also that while it is an induction on the number $n$ of vertices of the tree, we didn’t really mention $n$ in our inductive hypothesis. So long as we have the correct structure for an inductive proof, it is quite acceptable to leave the number on which we are inducting implicit instead of explicit in our proof.
We have just proved the following theorem.
数学代写|离散数学代写DISCRETE MATH代考|Paths in trees
A walk from vertex $x$ to vertex $y$ is an alternating sequence of vertices and edges starting at $x$ and ending at $y$ such that each edge connects the vertex that precedes it with the vertex that follows it. A path is a walk without repeated vertices. In Figure $4.3$ we show a path from $y$ to $x$ by putting arrows beside its edges; we also show a walk that is not a path, using arrows with numbers to indicate its edges. In this walk, the vertex marked $z$ is used twice (as is an edge).
4.3-2 Draw a rooted tree on 12 vertices. (Don’t draw a “boring” one.) Choose two vertices. Can you find a path between them. Can you find more than one? Try another two vertices. What do you think is true in general? Can you prove it?
How do we prove that there is exactly one path between any two vertices of a rooted tree? It is probably no surprise that we use induction. In particular, in a rooted tree with one vertex the only path or walk is the “alternating sequence of vertices and edges” that has no edges, namely that single vertex. That single vertex is the unique path from the vertex to itself, so in a tree with one vertex we have a unique path between any pair of vertices. Now let $T$ be a rooted tree with root vertex $r$, and let $T_{1}, T_{2}, \ldots, T_{k}$ be the subtrees whose roots $r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{k}$ are joined to $r$ by edges. Assume inductively that in each $T_{i}$ there is a unique path between any pair of vertices. Then if we have a pair $x$ and $y$ of vertices in $T$, they are either in the same $T_{i}$ (case 1), different subtrees $T_{i}$ and $T_{j}$ of the root (case 2 ), or one is the root and one is in a subtree $T_{i}$ (case 3 ). In case 1 , a walk from $x$ to $y$ that leaves tree $T_{i}$ must enter it again, and so it must use vertex $r$ twice. Thus the unique path between $x$ and $y$ in $T_{i}$ is the unique path between $x$ and $y$ in $T$. In case 2 there is a unique path between $x$ and $r_{i}$ in their subtree $T_{i}$ and a unique path between $r_{j}$ and $y$ in their subtree $T_{j}$. Thus in $T$ we have a path from $x$ to $r_{i}$ which we may follow with the edge from $r_{i}$ to $r$, then the vertex $r$, then the edge from $r$ to $r_{j}$, and finally the path from $r_{j}$ to $y$, which gives us a path from $x$ to $y$.
离散数学代写
数学代写|离散数学代写DISCRETE MATH代考|THE IDEA OF A ROOTED TREE
您已经将树视为解决各种不同类型问题的数据结构。从数学上讲，树是由顶点和边组成的几何图形，但具有特殊的种类。我们将顶点视为平面中的点，将边视为线段。在本节中，我们将研究在计算机科学中有用的树的一些属性。我们在计算机科学中使用的大多数（但不是全部）树都有一个称为根的特殊顶点。这种树通常被称为“有根树”。我们当然可以用普通英语来描述我们所说的有根树的意思。然而，递归描述我们所说的有根树是特别容易的。我们说
A 顶点磷是一棵有根的树磷.
如果吨1,吨2,…吨ķ是有根的树R一世， 和磷是一个顶点，然后从磷到每个根R一世给出一棵有根树吨有根磷. 我们叫树吨1, 吨2,…吨ķ根的子树磷我们的根树吨.
我们可以使用这两个规则构造的任何几何图形都称为有根树。就像我们没有真正定义几何中的点和线一样，我们不会在这里正式定义术语顶点和边。我们确实注意到顶点的标准同义词是节点，而边表示顶点之间的关系。如图4.1我们首先显示一个顶点。然后我们想象三棵树是这个单个顶点的副本，并将它们连接到一个新的根。最后，我们获取结果树的两个副本并将它们附加到一个新的根。
数学代写|离散数学代写DISCRETE MATH代考|THE NUMBER OF VERTICES AND EDGES IN A TREE
在练习 4.3-1 中，你看到了每棵 7 顶点树都有 6 条边。这表明了一种模式，即有根树n顶点有n−1边缘。我们将如何证明这一点？嗯，有一个顶点的有根树没有边，因为在我们的递归定义中，获得一个有一个顶点的树的唯一方法是取一个称为根的顶点。吨H一种吨s这在ndsl一世ķ和一种b一种s和s吨和pF这r一种n一世nd在C吨一世在和pr这这F,d这和sn′吨一世吨?如果我们有一棵有根树，它有一个由边连接到某个数字的根顶点，比如说ķ, 树。如果这些ķ树有大小n1,n2,…,nķ，那么我们可以归纳地假设它们有n1−1,n2−1,…,nķ−1边分别。吨H一种吨sH这在lds这在ndl一世ķ和吨H和一世nd在C吨一世在和H是p这吨H和s一世s这F一种n一世nd在C吨一世在和pr这这F.如果我们原来的树有n顶点，那么这些树总共有n−1=∑一世=1ķn一世顶点和
∑一世=1ķ(n一世−1)=(∑一世=1ķn一世)−ķ=n−1−ķ
边缘。除了这些顶点和边之外，我们的原始树还有 1 个顶点和ķ更多边缘吨H这s和吨H一种吨C这nn和C吨吨H和s在b吨r和和s吨这吨H和r这这吨. 因此我们原来的有根树有(n−1−ķ)+ķ= n−1边缘。因此由s吨r这nG数学归纳原理，有根树n顶点有n−1边缘。
注意这个归纳证明如何反映了有根树的递归定义。还要注意，虽然它是对数字的归纳n树的顶点，我们没有真正提到n在我们的归纳假设中。只要我们有正确的归纳证明结构，在我们的证明中保留我们正在归纳的数字是隐含的而不是显式的，这是完全可以接受的。
我们刚刚证明了以下定理。
数学代写|离散数学代写DISCRETE MATH代考|PATHS IN TREES
从顶点步行X到顶点是是顶点和边的交替序列，从X并结束于是这样每条边都将它前面的顶点与它后面的顶点连接起来。路径是没有重复顶点的步行。如图4.3我们展示了一条从是到X通过在其边缘放置箭头；我们还展示了一条不是路径的步行，使用带有数字的箭头来指示它的边缘。在这次步行中，标记的顶点和使用了两次一种s一世s一种n和dG和.
4.3-2 在 12 个顶点上画一棵有根树。D这n′吨dr一种在一种“b这r一世nG”这n和.选择两个顶点。你能找到它们之间的路径吗？你能找到不止一个吗？尝试另外两个顶点。您认为一般情况下什么是正确的？你能证明这个吗？
我们如何证明在有根树的任意两个顶点之间只有一条路径？我们使用归纳法可能并不奇怪。特别是，在具有一个顶点的有根树中，唯一的路径或步行是没有边的“顶点和边的交替序列”，即单个顶点。该单个顶点是从顶点到自身的唯一路径，因此在具有一个顶点的树中，我们在任何一对顶点之间都有唯一路径。现在让吨是具有根顶点的有根树r， 然后让吨1,吨2,…,吨ķ是其根的子树r1,r2,…,rķ加入到r通过边缘。归纳地假设在每个吨一世任何一对顶点之间都有一条唯一的路径。那么如果我们有一对X和是中的顶点数吨, 它们要么在同一个吨一世 C一种s和1, 不同的子树吨一世和吨j根的C一种s和2，或者一个是根，一个在子树中吨一世 C一种s和3. 在案例 1 中，从X到是留下树吨一世必须再次输入，所以它必须使用顶点r两次。因此之间的唯一路径X和是在吨一世是之间的唯一路径X和是在吨. 在情况 2 之间存在唯一路径X和r一世在他们的子树中吨一世和之间的独特路径rj和是在他们的子树中吨j. 因此在吨我们有一条从X到r一世我们可以从r一世到r，那么顶点r，然后边缘从r到rj，最后是从rj到是，这给了我们一条从X到是.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
