# 数学代写|代数拓扑作业代写algebraic topology代考|Fiber Bundles

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## 数学代写|代数拓扑作业代写algebraic topology代考|Group actions

Let $G$ be a topological group. This means that $G$ is a topological space and also a group so that the multiplication map $\mu: G \times G \rightarrow G, \mu(g, h)=g h$ and the inversion map $\iota: G \rightarrow G, \iota(g)=g^{-1}$ are continuous.

A topological group $G$ acts on a space $X$ if there is a group homomorphism $G \rightarrow \operatorname{Homeo}(X)$ such that the adjoint
$$G \times X \rightarrow X \quad(g, x) \mapsto g(x)$$
is continuous. We will usually write $g \cdot x$ instead of $g(x)$.
The orbit of a point $x \in X$ is the set $G x={g \cdot x \mid g \in G}$.
The orbit space or quotient space $X / G$ is the quotient space $X / \sim$, with the equivalence relation $x \sim g \cdot x$.
The fixed set is $X^{G}={x \in X \mid g \cdot x=x$ for all $g \in G}$.
An action is called free if $g(x) \neq x$ for all $x \in X$ and for all $g \neq e$.

## 数学代写|代数拓扑作业代写algebraic topology代考|Fiber bundles

We can now give the definition of a fiber bundle.
Let G be a topological group acting effectively on a space F. A fiber bundle E over B with fiber F and structure group G is a map p : E → B together with a collection of homeomorphisms {ϕ : U × F → p−1(U)} for open sets U in B (ϕ is called a chart over U) such that:

1. The diagram
commutes for each chart ϕ over U.
2. Each point of $B$ has a neighborhood over which there is a chart.
3. If $\varphi$ is a chart over $U$ and $V \subset U$ is open, then the restriction of $\varphi$ to $V$ is a chart over $V$.
4. For any charts $\varphi, \varphi^{\prime}$ over $U$, there is a continuous map $\theta_{\varphi, \varphi^{\prime}}: U \rightarrow G$ so that
$$\varphi^{\prime}(u, f)=\varphi\left(u, \theta_{\varphi, \varphi^{\prime}}(u) \cdot f\right)$$
for all $u \in U$ and all $f \in F$. The map $\theta_{\varphi, \varphi^{\prime}}$ is called the transition function for $\varphi, \varphi^{\prime}$.
5. The collection of charts is maximal among collections satisfying the previous conditions.

The standard terminology is to call $B$ the base, $F$ the fiber, and E the total space. For shorthand one often abbreviates (p, E, B, F, G)$by E$

This definition of fiber bundle is slick, and some discussion about the various requirements helps one to understand the concept.

## 数学代写|代数拓扑作业代写ALGEBRAIC TOPOLOGY代考|Examples of fiber bundles

The following are some examples of locally trivial bundles. We will revisit these and many more examples in greater detail in Section 6.14.

1. The trivial bundle is the projection $p_{B}: B \times F \rightarrow B. 2. If F has the discrete topology, any locally trivial bundle over$B$with fiber$F$is a covering space; conversely if$p: E \rightarrow B$is a covering space with$B$path connected, then$p$is a locally trivial bundle with discrete fiber. 3. The Möbius strip mapping onto its core circle is a locally trivial bundle with fiber$[0,1]$. 4. The tangent bundle of a smooth manifold is a locally trivial bundle. Exercise 58. Show that a fiber bundle with trivial structure group is (isomorphic to) a trivial bundle. ## 代数拓扑代写 ## 数学代写|代数拓扑作业代写ALGEBRAIC TOPOLOGY代考|GROUP ACTIONS 让G是一个拓扑群。这意味着G是一个拓扑空间，也是一个群，所以乘法映射μ:G×G→G,μ(G,H)=GH和反演图我:G→G,我(G)=G−1是连续的。 拓扑群G作用于空间X如果存在群同态G→家美⁡(X)使得伴随 G×X→X(G,X)↦G(X) 是连续的。我们通常会写G⋅X代替G(X). 一个点的轨道X∈X是集合GX=G⋅X∣G∈G. 轨道空间或商空间X/G是商空间X/∼, 具有等价关系X∼G⋅X. 固定集是XG=X∈X∣G⋅X=X$F这r一种ll$G∈G. 一个动作被称为自由的，如果G(X)≠X对全部X∈X并为所有人G≠和. ## 数学代写|代数拓扑作业代写ALGEBRAIC TOPOLOGY代考|FIBER BUNDLES 我们现在可以给出纤维束的定义。 设 G 是一个有效作用于空间 F 的拓扑群。 B 上的纤维丛 E 具有纤维 F 和结构群 G 是映射 p : E → B 以及同胚集合 {ϕ : U × F → p-1在} 对于 B 中的开集 Uφ一世sC一种ll和d一种CH一种r吨这在和r在这样： 1. 该图 在 U 上为每个图表 φ 通勤。 2. 每个点乙有一个社区，上面有一张图表。 3. 如果披图表结束了在和在⊂在是开放的，那么限制披到在图表结束了在. 4. 对于任何图表披,披′超过在, 有一个连续图θ披,披′:在→G以便 披′(在,F)=披(在,θ披,披′(在)⋅F) 对全部在∈在和所有F∈F. 地图θ披,披′称为转移函数披,披′. 5. 在满足上述条件的集合中，图表的集合是最大的。 标准术语是调用乙基地，F纤维，E 总空间。对于速记，通常缩写为p,和,乙,F,Gb是和 光纤束的这个定义很巧妙，一些关于各种要求的讨论有助于理解这个概念。 ## 数学代写|代数拓扑作业代写ALGEBRAIC TOPOLOGY代考|EXAMPLES OF FIBER BUNDLES 以下是一些本地平凡包的示例。我们将在第 6.14 节更详细地回顾这些以及更多示例。 1. 平凡丛是投影$p_{B}: B \times F \rightarrow B。
2. 如果 F 具有离散拓扑，则任何局部平凡丛在乙带纤维F是覆盖空间；相反，如果p:和→乙是一个覆盖空间乙路径连接，然后p是具有离散纤维的局部平凡丛。
3. 映射到其核心圆上的莫比乌斯带是具有纤维的局部平凡束[0,1].
4. 光滑流形的切丛是局部平凡丛。
练习 58. 证明具有平凡结构群的纤维束是一世s这米这rpH一世C吨这一个微不足道的捆绑包。

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。