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# 数学代写|概率论代考probability theory代写|Borel’s Strong Law of Large Numbers

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## 数学代写|概率论代考probability theory代写|The Borel–Cantelli Lemma

Consider a sequence of events $\left{A_{n}\right}_{n \geq 1}$. Let
$$\left{A_{n} \text { i.o. }\right}:=\left{\omega ; \omega \in A_{n} \text { for an infinity of indices } n\right} .$$
Here i.o. means infinitely often. We have the Borel-Cantelli lemma:
Theorem 1.5.2
$$\sum_{n=1}^{\infty} P\left(A_{n}\right)<\infty \Longrightarrow P\left(A_{n} \text { i.o. }\right)=0 .$$
Proof. First observe that
$$\left{A_{n} \text { i.o. }\right}=\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k \geq n} A_{k} .$$
(Indeed, if $\omega$ belongs to the set on the right-hand side, then for all $n \geq 1, \omega$ belongs to at least one among $A_{n}, A_{n+1}, \ldots$, which implies that $\omega$ is in $A_{n}$ for an infinite number of indices $n$. Conversely, if $\omega$ is in $A_{n}$ for an infinite number of indices $n$, it is for all $n \geq 1$ in at least one of the sets $\left.A_{n}, A_{n+1}, \ldots .\right)$

The set $\cup_{k \geq n} A_{k}$ decreases as $n$ increases, so that by the sequential continuity property of probability,
$$P\left(A_{n} \text { i.o. }\right)=\lim {n \uparrow \infty} P\left(\bigcup{k \geq n} A_{k}\right) .$$

## 数学代写|概率论代考probability theory代写|Markov’s Inequality

Theorem 1.5.4 Let $Z$ be a non-negative real random variable and let $a>0$. Then,
$$P(Z \geq a) \leq \frac{\mathrm{E}[Z]}{a} .$$
Proof. From the inequality
$$Z \geq a 1_{{Z \geq a}}$$
it follows by taking expectations that
$$\mathrm{E}[Z] \geq a \mathrm{E}\left[1_{{Z \geq a}}\right]=a P(Z \geq a)$$

## 数学代写|概率论代考PROBABILITY THEORY代写|Proof of Borel’s Strong Law

Let $S_{n}:=\sum_{k=1}^{n} X_{k}$ and $Z_{n}:=\frac{1}{n} S_{n}$.
Lemma 1.5.7 If
$$\sum_{n \geq 1} P\left(\left|Z_{n}-p\right| \geq \varepsilon_{n}\right)<\infty$$
for some sequence of positive numbers $\left{\varepsilon_{n}\right}_{n \geq 1}$ converging to 0 , then the sequence $\left{Z_{n}\right}_{n \geq 1}$ converges $P$-a.s. to $p$.

Proof. If, for a given $\omega,\left|Z_{n}(\omega)-p\right| \geq \varepsilon_{n}$ finitely often (or $f . o$; that is, for all but a finite number of indices $n$ ), then $\lim {n \uparrow \infty}\left|Z{n}(\omega)-p\right| \leq \lim {n \uparrow \infty} \varepsilon{n}=0$. Therefore
$$P\left(\lim {n \uparrow \infty} Z{n}=p\right) \geq P\left(\left|Z_{n}-p\right| \geq \varepsilon_{n} \quad \text { f.o. }\right) .$$

## 数学代写|概率论代考PROBABILITY THEORY代写|THE BOREL–CANTELLI LEMMA

\left{A_{n} \text { io }\right}:=\left{\omega ; \omega \in A_{n} \text { 对于无穷大的索引 } n\right} 。\left{A_{n} \text { io }\right}:=\left{\omega ; \omega \in A_{n} \text { 对于无穷大的索引 } n\right} 。

∑n=1∞磷(一种n)<∞⟹磷(一种n io )=0.

\left{A_{n} \text { io }\right}=\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k \geq n} A_{k} 。\left{A_{n} \text { io }\right}=\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k \geq n} A_{k} 。

$$P\left(\lim {n \uparrow \infty} Z{n}=p\right) \geq P\left(\left|Z_{n}-p\right| \geq \varepsilon_{n} \quad \text { f.o. }\right) .$$

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。