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数学代考|计算复杂性理论代写computational complexity theory代考|Interactive Proof Systems

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计算复杂性理论computational complexity theory理论计算机科学中密切相关的领域是算法分析和可计算性理论。算法分析与计算复杂性理论之间的一个关键区别是,前者致力于分析某一特定算法解决某一问题所需的资源量,而后者则提出了一个更普遍的问题,即所有可能用来解决同一问题的算法。更确切地说,计算复杂性理论试图对那些能够或不能用适当限制的资源来解决的问题进行分类。反过来,对可用资源施加限制是计算复杂性与可计算性理论的区别所在:后者的理论问的是哪些类型的问题原则上可以用算法解决。

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数学代考|计算复杂性理论代写computational complexity theory代考|Interactive Proof Systems

数学代考|计算复杂性理论代写computatiknal complexity theory代考|Examples and Definitions

The notion of interactive proof systems is most easily explained from a game-theoretic view of the complexity classes. In the general setting, each problem A is interpreted as a two-person game in which the first player, the prover, tries to convince the second player, the verifier, that a given instance x is in A. On a given instance x, each player takes turn sending a string $y_{i}$ to the other player, where the $i$ th string $y_{i}$ may depend on the input $x$ and the previous strings $y_{1}, \ldots, y_{i-1}$. After a number $m$ of moves, the prover wins the game if the verifier is able to verify that the strings $x$, $y_{1}, \ldots, y_{m}$ satisfy a predetermined condition; otherwise, the verifier wins. Depending on the computational power of the two players, and on the type of protocols allowed between the two players, this game-theoretic view of the computational problems can be used to characterize some familiar complexity classes.

As a simple example, consider the famous N P-complete problem SAT. To prove that a Boolean formula F is satisfiable, the prover simply sends a truth assignment t on the variables that occurred in $F$ to the verifier, then the verifier verifies, in polynomial time, whether $t$ satisfies $F$ or not and accepts $F$ if $t$ indeed satisfies $F$. Thus, we say that SAT has a proof system with the following properties:
(1) The verifier has the power of a polynomial-time DTM, and the prover has the unlimited computational power.
(2) The game lasts for one round only, with the prover making the first move.
(3) A formula F is in SAT if and only if the prover is able to win the game on F.

数学代考|计算复杂性理论代写computatiknal complexity theory代考|Arthur–Merlin Proof Systems

In order to analyze the computational power of interactive proof systems, we first study a weaker type of probabilistic proof system called the Arthur-Merlin proof system. An Arthur-Merlin proof system is similar to an interactive proof system where Arthur is a verifier with the power of a polynomial-time PTM and Merlin is a prover, except that Merlin is even more powerful than an ordinary prover so that he is able to read the whole history of the computation of Arthur on the given input, including the random numbers generated by Arthur. If we examine the interactive proof systems of Examples $10.1$ and $10.2$, we can see that the secrecy of the random bits used by the verifier is critical to the correctness of the system. Indeed, if in Example $10.1$ the prover knows game by sending back the bit $b$, regardless of whether $G_{1} \cong G_{2}$ or not. Thus, the extra power of Merlin appears to be a strong restriction to the Thus, the extra power of Merlin appears to be a strong restriction to the restriction is not really so strong and that the two notions of proof systems are essentially equivalent. Yet, the simplicity of the Arthur-Merlin proof systems allows us to perform detailed analysis of its computational power.

As Merlin is so powerful that Arthur is not able to hide his random numbers from Merlin, we may as well require that in an Arthur-Merlin proof system, Arthur always sends the random numbers he used to Merlin. Furthermore, Merlin can always simulate Arthur’s computation to compute the next query to be asked by Arthur from the history of the computation and the new random numbers received from Arthur. Thus, Arthur really does not have to send Merlin anything except the new random numbers generated by the random number generator. In other words, Arthur really plays a passive role whose only task is to verify, at the end, whether the computation satisfies a predetermined condition and whether to accept the input. Formally, we define an Arthur machine to be an interactive TM such that
(1) each new query of Arthur is simply a new sequence of random bits; and
(2) every random number generated by Arthur must be sent to Merlin as a query, even if Arthur does not expect an answer from Merlin so that the last random number generated by Arthur counts as one round of communication between the two players.

数学代考|计算复杂性理论代写computatiknal complexity theory代考|AM Hierarchy Versus Polynomial-Time Hierarchy

In this section, we consider the complexity classes $A M_{k}$ of sets having Arthur-Merlin proof systems of a bounded number of rounds. It is clear that these classes form a hierarchy:
A M_{0} \subseteq A M_{1} \subseteq \cdots \subseteq A M_{k} \subseteq A M_{k+1} \subseteq \cdots .
We are going to see that this hierarchy collapses to the second level. In addition, they are contained in the second level $\Pi_{2}^{P}$ of the polynomial-time hierarchy.

To begin with, we first give an alternating quantifier characterization for the $A M$ hierarchy like that for the polynomial-time hierarchy in Theorem 3.8. Intuitively, a move by Merlin demonstrates a new piece of proof to Arthur, and so it corresponds to an existential quantifier $\exists$, while a move by Arthur is simply a sequence of random bits, and to a probabilistic quantifier $\exists^{+}$. (Recall that $\left(\exists_{r}^{+} y,|y|=m\right)$ means “for at least $r \cdot 2^{m}$ strings $y$ of length $m$,” and $\exists^{+}$is the abbreviation for $\exists_{3 / 4}^{+}$.)

Recall that two predicates $R_{1}$ and $R_{0}$ are complementary if $R_{1}$ implies $\neg R_{0}$.

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交互式证明系统的概念最容易从复杂性类别的博弈论角度解释。在一般设置中,每个问题 A 都被解释为一个两人游戏,其中第一个玩家,证明者,试图说服第二个玩家,验证者,给定实例 x 在 A 中。在给定实例 x 上,每个玩家轮流发送一个字符串是一世给另一个玩家,其中一世第一个字符串是一世可能取决于输入X和之前的字符串是1,…,是一世−1. 一个数字后米的移动,如果验证者能够验证字符串,则证明者赢得游戏X, 是1,…,是米满足预定条件;否则,验证者获胜。根据两个玩家的计算能力,以及两个玩家之间允许的协议类型,这种计算问题的博弈论观点可以用来描述一些熟悉的复杂性类别。

作为一个简单的例子,考虑著名的 N P 完全问题 SAT。为了证明一个布尔公式 F 是可满足的,证明者只需对发生在F给验证者,然后验证者在多项式时间内验证是否吨满足F或不接受F如果吨确实满足F. 因此,我们说 SAT 有一个具有以下属性的证明系统:
1验证者拥有多项式时间 DTM 的能力,而证明者拥有无限的计算能力。
3当且仅当证明者能够在 F 上赢得比赛时,公式 F 在 SAT 中。


为了分析交互式证明系统的计算能力,我们首先研究一种较弱类型的概率证明系统,称为 Arthur-Merlin 证明系统。Arthur-Merlin 证明系统类似于交互式证明系统,其中 Arthur 是具有多项式时间 PTM 能力的验证者,而 Merlin 是证明者,只是 Merlin 比普通的证明者更强大,因此他能够阅读 Arthur 在给定输入上计算的整个历史,包括 Arthur 生成的随机数。如果我们检查示例的交互式证明系统10.1和10.2,我们可以看到验证者使用的随机位的保密性对系统的正确性至关重要。确实,如果在示例中10.1证明者通过发回比特来了解游戏b, 不管是否G1≅G2或不。因此,Merlin 的额外权力似乎是对 然而,Arthur-Merlin 证明系统的简单性使我们能够对其计算能力进行详细分析。

由于 Merlin 如此强大,以至于 Arthur 无法向 Merlin 隐藏他的随机数,我们不妨要求在 Arthur-Merlin 证明系统中,Arthur 总是将他使用的随机数发送给 Merlin。此外,Merlin 始终可以模拟 Arthur 的计算,以根据计算历史和从 Arthur 收到的新随机数计算 Arthur 提出的下一个查询。因此,除了随机数生成器生成的新随机数,Arthur 真的不需要向 Merlin 发送任何东西。换句话说,亚瑟实际上扮演了一个被动的角色,他唯一的任务就是最终验证计算是否满足预定条件以及是否接受输入。形式上,我们将 Arthur 机器定义为交互式 TM,使得
1Arthur 的每个新查询都只是一个新的随机位序列;和
2Arthur 生成的每一个随机数都必须作为查询发送给 Merlin,即使 Arthur 并不期待 Merlin 的回答,因此 Arthur 生成的最后一个随机数算作两个玩家之间的一轮通信。


在本节中,我们考虑复杂性类一种米ķ具有有限轮数的 Arthur-Merlin 证明系统的集合。很明显,这些类形成了一个层次结构:

首先,我们首先给出一个交替量词表征一种米与定理 3.8 中的多项式时间层次结构类似。直觉上,梅林的举动向亚瑟展示了一个新的证据,因此它对应于一个存在量词∃,而 Arthur 的移动只是一个随机位序列,并且是概率量词∃+. 回想一下 $\left(\exists_{r}^{+} y,|y|=m\right回想一下 $\left(\exists_{r}^{+} y,|y|=m\right米和一种ns“F这r一种吨l和一种s吨r \cdot 2^{m}s吨r一世nGs是这Fl和nG吨H米,”一种nd\存在^{+}一世s吨H和一种bbr和在一世一种吨一世这nF这r\exists_{3 / 4}^{+}$.)


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微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。




现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。


微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。





MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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