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# 数学代写|数论作业代写number theory代考|Arithmetic in Relative Extensions

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## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Arithmetic in Relative Extensions

Throughout this chapter, $K$ will denote a number field and $k$ a subfield of $K$. The extension $K / k$ will be called a relative extension of number fields. We put o = Ok and O = OK.

OK = {α ∈ K| f(α) = 0 for a monic polynomial f(x) in o[x]}

Proof. We only have to show that any α in K which satisfies a monic polynomial f(x) in o[x] is an algebraic integer. Let
$$f(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}+x^{n}$$
with $a_{j}$ in $\mathfrak{o}$. Since $a_{j}$ are algebraic integers,
$$M=\mathbb{Z}\left[a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}\right]$$
is a finitely generated $\mathbb{Z}$-module, and so is
$$\mathbb{Z}\left[a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}, \alpha\right]=M+M \alpha+\cdots+M \alpha^{n-1} .$$
Since $\mathbb{Z}[\alpha]$ is a submodule of a finitely generated $\mathbb{Z}$-module, $\mathbb{Z}[\alpha]$ is also a finitely generated $\mathbb{Z}$-module, which shows that $\alpha$ is an algebraic integer.

This theorem allows us to regard K/Q as a special case of the relative extension K/k of number fields with k = Q.

## 数学代写|数论作业代写NUMBER THEORY代考|Criterion for Ramification

We now start preparing to show that if $K / k$ is an extension of number fields, the number of primes which ramify in $K$ is finite. In fact, we shall point out exactly which primes in $k$ ramify in $K$.

The complementary set of O relative to o is the set
$$\mathcal{O}^{\prime}=\left{\alpha \in K \mid \operatorname{Tr}_{K / k}(\alpha \mathcal{O}) \subseteq \mathfrak{o}\right}$$

## 数学代写|数论作业代写NUMBER THEORY代考|Review of Commutative Algebra

Let A be a integral domain with 1 , that is, a commutative ring with 1 such that for a, b in A, a b=0 implies that either a = 0 or b = 0. The ring $A$ is contained, in an obvious way, in its field of fractions $K$. A subset $S$ of $A$ is a multiplicative set if

1. 1 ∈ S but 0 6∈ S, and
2. if s1, s2 ∈ S then s1s2 ∈ S.

## 数学代写|数论作业代写NUMBER THEORY代考|ARITHMETIC IN RELATIVE EXTENSIONS

OK = {α ∈ K | F一个= 0 对于一元多项式 fX在oX}

$$f(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}+x^{n}$$
with $a_{j}$ in $\mathfrak{o}$. Since $a_{j}$ are algebraic integers,
$$M=\mathbb{Z}\left[a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}\right]$$
is a finitely generated $\mathbb{Z}$-module, and so is
$$\mathbb{Z}\left[a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}, \alpha\right]=M+M \alpha+\cdots+M \alpha^{n-1} .$$

## 数学代写|数论作业代写NUMBER THEORY代考|CRITERION FOR RAMIFICATION

O 相对于 o 的互补集是集合
$$\mathcal{O}^{\prime}=\left{\alpha \in K \mid \operatorname{Tr}_{K / k}(\alpha \mathcal{O}) \subseteq \mathfrak{o}\right}$$

## 数学代写|数论作业代写NUMBER THEORY代考|REVIEW OF COMMUTATIVE ALGEBRA

1. 1 ∈ S 但 0 6 ∈ S，并且
2. 如果 s1, s2 ∈ S 则 s1s2 ∈ S。

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。