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# 数学代写|数论作业代写number theory代考|Basic Concepts

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## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Generalities

Let $K / k$ be a field extension and suppose $\alpha$ is an element of $K$. We say that $\alpha$ is algebraic over $k$ if $\alpha$ satisfies a nonzero polynomial over $k$. Suppose $n=\operatorname{dim}{k}(K)$ is finite and $\alpha$ is in $K$. Then the $n+1$ vectors $1, \alpha, \ldots, \alpha^{n}$ cannot be linearly independent and hence satisfy a nontrivial linear relation $$c{0}+c_{1} \alpha+\cdots+c_{n} \alpha^{n}=0$$
with $c_{j}$ in $k$. This not only shows that $\alpha$ is algebraic over $k$ but also proves that it is a root of a nonzero polynomial of degree at most $n$ over $k$. The smallest degree of a polynomial over $k$ satisfied by $\alpha$ is called the degree of $\alpha$ over $k$. It is denoted by $\operatorname{deg}_{k}(\alpha)$.

## 数学代写|数论作业代写NUMBER THEORY代考|Algebraic Integers

The subject of algebraic number theory originated with Gauss, who studied the arithmetic in the ring $\mathbb{Z}[i]={x+i y \mid x, y \in \mathbb{Z}}$ of the so called Gaussian integers. We begin with a useful fact about field extensions which is true for the ones to be dealt with in this book.

A field extension $K / k$ is a simple extension if there is an element $\alpha$ in $K$ such that $K=k(\alpha)$.

Here $k(\alpha)$ is the field of all quotients of polynomials in $\alpha$ over $k$. It is the smallest field containing $k$ and $\alpha$. We say that $K$ has been obtained by adjoining $\alpha$ to $k$. We also say that $\alpha$ generates $K$ over $k$.

## 数学代写|数论作业代写NUMBER THEORY代考|Integral Bases

Let $A$ be a commutative ring with 1 . Suppose $M \neq{0}$ is an $A$-module. We say that $M$ is a free A-module of rank $n$ ( $n$ being an integer $\geq 1$ ) if there are $n$ elements $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ in $M$ such that every element $\alpha$ of $M$ can be uniquely written as
$$\alpha=a_{1} \alpha_{1}+\cdots+a_{n} \alpha_{n}$$
with $a_{j}$ in $A$. We write it as
$$M=A \alpha_{1} \oplus \ldots \oplus A \alpha_{n}$$

## 数学代写|数论作业代写NUMBER THEORY代考|INTEGRAL BASES

$$\alpha=a_{1} \alpha_{1}+\cdots+a_{n} \alpha_{n}$$
with $a_{j}$ in $A$. We write it as
$$M=A \alpha_{1} \oplus \ldots \oplus A \alpha_{n}$$

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。