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金融代写|金融计量经济学代考Financial Econometrics代考|Multivariate Regression
We begin with the general multivariate linear regression model,
$$
Y_{t}=C X_{t}+\epsilon_{t},
$$
where $Y_{t}=\left(Y_{1 t}, \ldots, Y_{m t}\right)^{\prime}$ is an $m \times 1$ vector of responsive variables and $X_{t}=$ $\left(X_{1 t}, \ldots, X_{n t}\right)^{\prime}$ is an $n \times 1$ vector of predictors, $C$ is an $m \times n$ coefficient matrix and $\epsilon_{t}=\left(\epsilon_{1 t}, \ldots, \epsilon_{m t}\right)^{\prime}$ is the $m \times 1$ vector of random errors. In the cross-sectional modeling of asset returns, the popular model introduced by Fama and French (2015) [133], falls into this regression set-up. The response vector has the returns on ‘ $m$ ‘ stocks and the predictor set contains the Fama-French factors. If we restrict the first component of $X_{t}, X_{1 t}=1$, the model in (3.1) can include the means of the variables in $Y_{t}$. We assume $\mathrm{E}\left(\epsilon_{t}\right)=0$ and $\operatorname{Cov}\left(\epsilon_{t}\right)=\Sigma_{\epsilon \epsilon}$ is a $m \times m$ positive definite covariance matrix. The errors are independent over ‘ $t$ ‘, the time index. Thus if we arrange the data and error as matrices,
$$
Y=\left[Y_{1}, \ldots, Y_{T}\right], X=\left[X_{1}, \ldots, X_{T}\right] \text { and } \epsilon=\left[\epsilon_{1}, \ldots, \epsilon_{T}\right],
$$
and if $e=\operatorname{vec}\left(\epsilon^{\prime}\right)$,
$$
\mathrm{E}(e)=0, \quad \operatorname{Cov}(e)=\Sigma_{\epsilon \epsilon} \otimes I_{T},
$$
where the symbol $\otimes$ signifies the Kronecker product. ${ }^{1}$
The unknown parameters in model (3.1) are the $(m n)$ elements of the regression coefficient matrix $C$ and $m(m+1) / 2$ elements of the error covariance matrix $\Sigma_{\epsilon \epsilon}$. These can be estimated by the method of maximum likelihood under the assumption of normality of the $\epsilon_{t}$ which is equivalent to least squares estimation. Note we can rewrite the model (3.1) in terms of the data matrices $\mathbf{Y}$ and $\mathbf{X}$ as
$$
\mathbf{Y}=C \mathbf{X}+\epsilon
$$
The least squares estimates are obtained by minimizing
$$
e^{\prime} e=\operatorname{tr}\left(\epsilon \epsilon^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left[(\mathbf{Y}-C \mathbf{X})(\mathbf{Y}-C \mathbf{X})^{\prime}\right]=\operatorname{tr}\left[\sum_{t=1}^{T} \epsilon_{t} \epsilon_{t}^{\prime}\right],
$$
where $\operatorname{tr}(A)$ denotes the sum of the diagonal elements of $A$. This yields a unique solution for $C$ as
$$
\tilde{C}=\mathbf{Y} \mathbf{X}^{\prime}\left(\mathbf{X} \mathbf{X}^{\prime}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{T} \mathbf{Y} \mathbf{X}^{\prime}\right)\left(\frac{1}{T} \mathbf{X} \mathbf{X}^{\prime}\right)^{-1}
$$
金融代写|金融计量经济学代考Financial Econometrics代考|Inference Properties
The distributional properties of $\tilde{C}$ follow from multivariate normality of the error terms $\epsilon_{t}$. Specifically, we consider the distribution of $\operatorname{vec}\left(\tilde{C}^{\prime}\right)$, where the “vec” operation transforms an $m \times n$ matrix into an $m n$-dimensional column vector by stacking the columns of the matrix below each other.
Result 1. For the model (3.1) under the normality assumption on the $\epsilon_{k}$, the distribution of the least squares estimator $\tilde{C}$ in (3.6) is that
$$
\operatorname{vec}\left(\tilde{C}^{\prime}\right) \sim N\left(\operatorname{vec}\left(C^{\prime}\right), \Sigma_{\epsilon \epsilon} \otimes\left(\mathbf{X} \mathbf{X}^{\prime}\right)^{-1}\right)
$$
Note, in particular, that this result implies that the $j$ th row of $\tilde{C}, \tilde{C}{(j)}^{\prime}$, which is the vector of least squares estimates of regression coefficients for the $j$ th response variable, has the distribution $\tilde{C}{(j)} \sim N\left(C_{(j)}, \sigma_{j j}\left(\mathbf{X} \mathbf{X}^{\prime}\right)^{-1}\right)$. The inference on the elements of the matrix $C$ can be made using the result in (3.7). In practice, because $\Sigma_{\epsilon \epsilon}$ is unknown, a reasonable estimator such as $\tilde{\Sigma}{\epsilon \epsilon}$ is substituted for the covariance matrix in (3.7). In the regression model (3.1) not all predictors are likely to play significant roles. The problem of variable selection currently is an area of active study. Here we present only basic results. We shall indicate the likelihood ratio (LR) procedure that is very useful for testing simple linear hypotheses regarding the regression coefficient matrix. Suppose $\mathbf{X}$ is partitioned as $\mathbf{X}=\left[\mathbf{X}{1}^{\prime}, \mathbf{X}{2}^{\prime}\right]$ and corresponding $C=\left[C{1}, C_{2}\right]$, so that the model (3.4) is written as $\mathbf{Y}=C_{1} \mathbf{X}{1}+C{2} \mathbf{X}{2}+\epsilon$, where $C{1}$ is $m \times n_{1}$ and $C_{2}$ is $m \times n_{2}$ with $n_{1}+n_{2}=n$. Suppose we want to test the null hypothesis $H_{0}: C_{2}=0$ against the alternative $C_{2} \neq 0$. The null hypothesis implies that the predictor variables $\mathbf{X}{2}$ do not have any (additional) influence on the response variables $\mathbf{Y}$, given the impact of the variables $\mathbf{X}{1}$. Essentially, this involves running two sets of regressions: One with all predictors $(\mathbf{X})$ and one with the subset of the predictors $\left(\mathbf{X}{1}\right)$. The LR test statistic is $\lambda=U^{T / 2}$, where $U=|S| /\left|S{1}\right|, S=(\mathbf{Y}-\tilde{C} \mathbf{X})(\mathbf{Y}-\tilde{C} \mathbf{X})^{\prime}$ and $S_{1}=$ $\left(\mathbf{Y}-\tilde{C}{1} \mathbf{X}{1}\right)\left(\mathbf{Y}-\tilde{C}{1} \mathbf{X}{1}\right)^{\prime}$. The matrix $S$ is the residual sum of squares matrix from fitting of the full model, while $S_{1}$ is the residual sum of squares matrix obtained from fitting the reduced model with $C_{2}=0$ and $\tilde{C}{1}=\mathbf{Y} \mathbf{X}{1}^{\prime}\left(\mathbf{X}{1} \mathbf{X}{1}^{\prime}\right)^{-1}$. It has been shown (see Anderson (1984) [19, Chapter 8]) that for moderate and large sample size $T$, the test statistic
$$
\mathcal{M}=-\left[T-n+\left(n_{2}-m-1\right) / 2\right] \log (U)
$$
is approximately distributed as Chi-squared with $n_{2} m$ degrees of freedom $\left(\chi_{n_{2} m}^{2}\right)$; the hypothesis is rejected when $\mathcal{M}$ is greater than a constant determined by the $\chi_{n_{2} m}^{2}$ distribution for a given level of significance.
金融计量经济学代写
金融代写|金融计量经济学代考FINANCIAL ECONOMETRICS代考|MULTIVARIATE REGRESSION
我们从一般的多元线性回归模型开始，
$$
Y_{t}=C X_{t}+\epsilon_{t}
$$
在哪里 $Y_{t}=\left(Y_{1 t}, \ldots, Y_{m t}\right)^{\prime}$ 是一个m $m \times 1$ 响应变量的向量和 $X_{t}=\left(X_{1 t}, \ldots, X_{n t}\right)^{\prime}$ 是 个 $n \times 1$ 预测变量向量， $C$ 是一个m $m \times n$ 系数矩阵和 $\epsilon_{t}=\left(\epsilon_{1 t}, \ldots, \epsilon_{m t}\right)^{\prime}$ 是个 $m \times 1$ 随机误差向量。在资产收益的横载面建模中，Fama和french引入的流行模型 2015
133
，属于这个回归设置。响应向量的返回值为 ‘ $m$ ‘ 股票和预测变量集包含 Fama-French 因子。如果我们限制第一个组件 $X_{t}, X_{1 t}=1$ ，模型在 $3.1$ 可以包括变量的均值 $Y_{t}$. 我 们猜则 $\mathrm{E}\left(\epsilon_{t}\right)=0$ 和 $\mathrm{Cov}\left(\epsilon_{t}\right)=\Sigma_{c e}$ 是一个 $m \times m$ 正定协方差矩阵。错误独立于 ‘ $t$ ‘，时间索引。因此，如果我们将数据和误差排列成矩阵，
$$
Y=\left[Y_{1}, \ldots, Y_{T}\right], X=\left[X_{1}, \ldots, X_{T}\right] \text { and } \epsilon=\left[\epsilon_{1}, \ldots, \epsilon_{T}\right]
$$
而如果 $e=\operatorname{vec}\left(\epsilon^{\prime}\right)$,
$$
\mathrm{E}(e)=0, \quad \operatorname{Cov}(e)=\Sigma_{e e} \otimes I_{T},
$$
符昊在哪里 $\otimes$ 表示克罗内克产品。 1
模型中的末知参数 $3.1$ 是 $(m n)$ 回归系数矩阵的元素 $C$ 和 $m(m+1) / 2$ 误差协方差矩阵的元素 $\Sigma_{\epsilon \epsilon}$. 这些可以在假设正态性的情况下通过最大似然法来估计 $\epsilon_{t}$ 这相当于最小 二乘估计。注意我们可以重写模型3.1在数据矩阵方面 $\mathrm{Y}$ 和 $\mathrm{X}$ 作为
$$
\mathbf{Y}=C \mathbf{X}+\epsilon
$$
最小二乘估计是通过最小化获得的
$$
e^{\prime} e=\operatorname{tr}\left(\epsilon \epsilon^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left[(\mathbf{Y}-C \mathbf{X})(\mathbf{Y}-C \mathbf{X})^{\prime}\right]=\operatorname{tr}\left[\sum_{t=1}^{T} \epsilon_{t} \epsilon_{t}^{\prime}\right]
$$
在哪里 $\operatorname{tr}(A)$ 表示对角线元素的总和 $A$. 这产生了一个独特的解决方安 $C$ 作为
$$
\tilde{C}=\mathbf{Y} \mathbf{X}^{\prime}\left(\mathbf{X} \mathbf{X}^{\prime}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{T} \mathbf{Y} \mathbf{X}^{\prime}\right)\left(\frac{1}{T} \mathbf{X} \mathbf{X}^{\prime}\right)^{-1}
$$
金融代写|金融计量经济学代考FINANCIAL ECONOMETRICS代 考|INFERENCE PROPERTIES
的分布特性 $\tilde{C}$ 僼㑑误差项的多元正态性 $\epsilon_{t}$. 具体来说，我们考虑分布vec $\left(\bar{C}^{\prime}\right)$ ，其中”vec”操作将一个 $m \times n$ 矩阵成 $m n \mathrm{~ 维 列 向 量 ， 通 过 将 矩 阵 的 列 堆 叒}$
结果 1. 对于模型 $3.1$ 在正态性假设下 $\epsilon_{k}$, 最小二乘估计量的分布 $\tilde{C}$ 在 $3.6$ 就是它
$$
\operatorname{vec}\left(\breve{C}^{\prime}\right) \sim N\left(\operatorname{vec}\left(C^{\prime}\right), \Sigma_{\epsilon \epsilon} \otimes\left(\mathbf{X} \mathbf{X}^{\prime}\right)^{-1}\right)
$$
请特别注意，该结果意味着 $j$ 第行 $\tilde{C}, \tilde{C}(j)^{\prime}$ ，它是回归系数的最小二乘估计向量 $j$ 第一个响应变量，有分布 $\left.\tilde{C}(j) \sim N\left(C_{(j)}, \sigma_{j j}(\mathbf{X X})^{\prime}\right)^{-1}\right)$. 对矩阵元素的推断 $C$ 可以使 用结果3.7. 在实践中，因为 $\Sigma_{\epsilon \epsilon}$ 是末知的，一个合理的估计量，例如 $\varepsilon \epsilon$ 代蒈协方差矩阵 3.7. 在回归模型中 3 前是一个积极研究的领域。在这里，我们只提供基本结果。我们将指出似然比 $L R$ 该程序对于检验有关回归系数矩阵的简单线性假设非常有用。认为 $\mathbf{X}$ 被划分为 $\mathbf{X}=\left[\mathbf{X} 1^{\prime}, \mathbf{X} 2^{\prime}\right]$ 和相应的 $C=\left[C 1, C_{2}\right]$, 使模型 $3.4$ 写成 $\mathbf{Y}=C_{1} \mathbf{X} 1+C 2 \mathbf{X} 2+\epsilon$ ，在哪里 $C 1$ 是 $m \times n_{1}$ 和 $C_{2}$ 是 $m \times n_{2}$ 和 $n_{1}+n_{2}=n$. 假设我们要检验原假设
$H_{0}: C_{2}=0$ 反对菒代方空 $C_{2} \neq 0$. 原假设意味看预测变量 $\mathbf{X} 2$ 没有任何 additional对响应变量的影响 $\mathbf{Y} \mathrm{~ , ~ 考 虑 到 变}$ 含所有预测变量 $(\mathbf{X})$ 一个是预测变量的子集 $(\mathbf{X} 1)$. LR 检验统计量为 $\lambda=U^{T / 2}$ ，在哪里 $U=|S| /|S 1|, S=(\mathbf{Y}-\tilde{C} \mathbf{X})(\mathbf{Y}-\tilde{C} \mathbf{X})^{\prime}$ 和 $S_{1}=$
$(\mathbf{Y}-\tilde{C} 1 \mathbf{X} 1)(\mathbf{Y}-\tilde{C} 1 \mathbf{X} 1)^{\prime}$. 矩阵 $S$ 是来自拟合完整模型的残差平方和矩阵，而 $S_{1}$ 是通过拟合简化模型获得的残差平方和矩阵 $C_{2}=0$ 和 $\tilde{C} 1=\mathbf{Y X} 1^{\prime}\left(\mathbf{X} 1 \mathbf{X} 1^{\prime}\right)^{-1}$. 已 经显示seeAnderson $(1984$
19, Chapter 8
) 对于中等和大样本量 $T$, 检验统计量
$$
\mathcal{M}=-\left[T-n+\left(n_{2}-m-1\right) / 2\right] \log (U)
$$
近似分布为卡方 $n_{2} m$ 自由程度 $\left(\chi_{m_{2} m}^{2}\right)$; 当假设被拒绝时 $\mathcal{M}$ 大于由确定的常数 $\chi_{m_{2} m}^{2}$ 给定显着侏水平的分布。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
