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# 计算机代写|计算方法代写Algorithmic Methods代写|MPCS55001 Machine Numbers

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## 计算机代写|计算方法代写Algorithmic Methods代写|Machine Numbers

The real numbers can be realised only partially on a computer. In exact arithmetic, like for example in maple, real numbers are treated as symbolic expressions, e.g. $\sqrt{2}=$ Rootof $\left(Z^{\wedge} 2-2\right)$. With the help of the command evalf they can be evaluated, exact to many decimal places.

The floating point numbers that are usually employed in programming languages as substitutes for the real numbers have a fixed relative accuracy, e.g. double precision with 52 bit mantissa. The arithmetic rules of $\mathbb{R}$ are not valid for these machine numbers, e.g.
$$1+10^{-20}=1$$
in double precision. Floating point numbers are standardised by the Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE 754-1985 and by the International Electrotechnical Commission IEC 559:1989. In the following we give a short outline of these machine numbers. Further information can be found in [20].

One distinguishes between single and double format. The single format (single precision) requires 32-bit storage space
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline$V$ & $e$ & $M$ \
\hline 1 & 8 & 23 \
\hline
\end{tabular}
The double format (double precision) requires 64-bit storage space
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline$V$ & $e$ & $M$ \
\hline 1 & 11 & 52 \
\hline
\end{tabular}
Here, $V \in{0,1}$ denotes the sign, $e_{\min } \leq e \leq e_{\max }$ is the exponent (a signed integer) and $M$ is the mantissa of length $p$
$$M=d_{1} 2^{-1}+d_{2} 2^{-2}+\ldots+d_{p} 2^{-p} \cong d_{1} d_{2} \ldots d_{p}, \quad d_{j} \in{0,1}$$

## 计算机代写|计算方法代写Algorithmic Methods代写|Rounding

Let $x=a \cdot 2^{e} \in \mathbb{R}$ with $1 / 2 \leq a<1$ and $x_{\min } \leq x \leq x_{\max }$. Furthermore, let $u, v$ be two adjacent machine numbers with $u \leq x \leq v$. Then
$$u=\begin{array}{|l|l|l|} \hline 0 & e & b_{1} \ldots b_{p} \ \hline \end{array}$$
and
$$v=u+\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|} \hline 0 & e & 00 \ldots 01 & =u+0 & e-(p-1) & 10 \ldots 00 \ \hline \end{array}$$
Thus $v-u=2^{e-p}$ and the inequality
$$|\operatorname{rd}(x)-x| \leq \frac{1}{2}(v-u)=2^{e-p-1}$$
holds for the optimal rounding $\operatorname{rd}(x)$ of $x$. With this estimate one can determine the relative error of the rounding. Due to $\frac{1}{a} \leq 2$ it holds that
$$\frac{|\operatorname{rd}(x)-x|}{x} \leq \frac{2^{e-p-1}}{a \cdot 2^{e}} \leq 2 \cdot 2^{-p-1}=2^{-p} .$$
The same calculation is valid for negative $x$ (by using the absolute value).
Definition $1.14$ The number eps $=2^{-p}$ is called relative machine accuracy.
The following proposition is an important application of this concept.

## 计算机代写|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|MACHINE NUMBERS

$$1+10^{-20}=1$$

20

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。