19th Ave New York, NY 95822, USA

# 金融代写|随机微积分代写Stochastic Calculus代考|IMSE760 Notations and Basic Facts

my-assignmentexpert™提供最专业的一站式服务：Essay代写，Dissertation代写，Assignment代写，Paper代写，Proposal代写，Proposal代写，Literature Review代写，Online Course，Exam代考等等。my-assignmentexpert™专注为留学生提供Essay代写服务，拥有各个专业的博硕教师团队帮您代写，免费修改及辅导，保证成果完成的效率和质量。同时有多家检测平台帐号，包括Turnitin高级账户，检测论文不会留痕，写好后检测修改，放心可靠，经得起任何考验！

## 金融代写|随机微积分代写Stochastic Calculus代考|Notations and Basic Facts

$E$ will denote a complete separable metric space, $\mathbb{C}(E)$ will denote the space of realvalued continuous functions on $E, \mathbb{C}_{b}(E)$ will denote bounded functions in $\mathbb{C}(E)$, and $\mathcal{B}(E)$ will denote the Borel $\sigma$-field on $E . \mathbb{R}^{d}$ will denote the $d$-dimensional Euclidean space and $\mathrm{L}(m, d)$ will denote the space of $m \times d$ matrices with real entries. For $x \in \mathbb{R}^{d}$ and $A \in \mathrm{L}(m, d),|x|$ and $|A|$ will denote the Euclidean norms of $x, A$, respectively.
$(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ will denote a generic probability space, and $\mathbb{B}(\Omega, \mathcal{F})$ will denote the class of real-valued bounded $\mathcal{F}$ measurable functions. When $\Omega=E$ and $\mathcal{F}=\mathcal{B}(E)$, we will write $\mathbb{B}(E)$ for real-valued bounded Borel measurable functions.

Recall that for a collection $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}, \sigma(\mathcal{A})$ will denote the smallest $\sigma$-field which contains $\mathcal{A}$ and for a collection $\mathbb{G}$ of measurable functions on $(\Omega, \mathcal{F}), \sigma(\mathbb{G})$ will likewise denote the smallest $\sigma$-field on $\Omega$ with respect to which each function in $\mathbb{G}$ is measurable.

It is well known and easy to prove that for a complete separable metric space $E$,
$$\sigma\left(\mathbb{C}_{b}(E)\right)=\mathcal{B}(E)$$

## 金融代写|随机微积分代写Stochastic Calculus代考|Filtration

As in the discrete-time case, it is useful to define for $t \geq 0, \mathcal{G}{t}$ to be the $\sigma$-field generated by all the random variables observable up to time $t$ and then require any action to be taken at time $t$ (an estimate of some quantity or investment decision) should be measurable with respect to $\mathcal{G}{t}$. These observations lead to the following definitions.

Definition 2.17 A filtration on a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ is an increasing family of sub $\sigma$-fields $\left(\mathcal{F}{.}\right)=\left{\mathcal{F}{t}: t \geq 0\right}$ of $\mathcal{F}$ indexed by $t \in[0, \infty)$.

Definition $2.18$ A process $X$ is said to be adapted to a filtration $\left(\mathcal{F}{\text {. }}\right.$ ) if for all $t \geq 0, X{t}$ is $\mathcal{F}_{t}$ measurable.

We will always assume that the underlying probability space is complete, i.e. $N \in \mathcal{F}$, $\mathrm{P}(N)=0$, and $N_{1} \subseteq N$ implies $N \in \mathcal{F}$ and (ii) that $\mathcal{F}_{0}$ contains all sets $N \in \mathcal{F}$ with $\mathrm{P}(N)=0$.

Note that if $X$ is $(\mathcal{F}$.) adapted and $Y=X$ (see Definition 2.2) then $Y$ is also $(\mathcal{F}$.) adapted in view of the assumption that $\mathcal{F}_{0}$ contains all null sets.

Given a filtration $\left(\mathcal{F}{.}\right)$, we will denote by $\left(\mathcal{F}{.}^{+}\right)$the filtration $\left{\mathcal{F}{t}^{+}: t \geq 0\right}$ where $$\mathcal{F}{t}^{+}=\bigcap_{u>t} \mathcal{F}{u}$$ Let $\mathcal{N}$ be the class of all null sets (sets with $\mathrm{P}(N)=0$ ), and for a process $Z$, possibly vector-valued, let $$\mathcal{F}{t}^{Z}=\sigma\left(\mathcal{N} \cup \sigma\left(Z_{u}: 0 \leq u \leq t\right)\right)$$

## 金融代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代 考|NOTATIONS AND BASIC FACTS

$E$ 将表示一个完全可分的度量空间， $\mathbb{C}(E)$ 将表示实值连续函数的空间 $E, \mathbb{C}{b}(E)$ 将表示有界函数 $\mathbb{C}(E)$ ，和 $\mathcal{B}(E)$ 将表示 $B$ orel $\sigma$-场上 $E . \mathbb{R}^{d}$ 将表示 $d$ 维欧几里得空间 和 $\mathrm{L}(m, d)$ 将表示空间 $m \times d$ 具有真实条目的矩阵。为了 $x \in \mathbb{R}^{d}$ 和 $A \in \mathrm{L}(m, d),|x|$ 和 $|A|$ 将表示欧几里得范数 $x, A$ ，分别。 数。 回想一下，对于一个集合 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}, \sigma(\mathcal{A})$ 将表示最小的 $\sigma$-包含的字段 $\mathcal{A}$ 和收藏 $\mathbb{G}$ 的可测量函数 $(\Omega, \mathcal{F}), \sigma(\mathbb{G})$ 同样将表示最小的 $\sigma$-场上 $\Omega$ 关于其中的每个功能 $\mathbb{G}$ 是可测 量的。 众所周知并且容易证明对于一个完全可分的度量空间 $E$, $$\sigma\left(\mathbb{C}{b}(E)\right)=\mathcal{B}(E)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。