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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Least Squares Estimator
The linear projection coefficient $\beta$ is defined in (3.3) as the minimizer of the expected squared error $S(\beta)$ defined in (3.4). For given $\beta$, the expected squared error is the expectation of the squared error $\left(Y-X^{\prime} \beta\right)^{2}$. The moment estimator of $S(\beta)$ is the sample average:
$$
\widehat{S}(\beta)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-X_{i}^{\prime} \beta\right)^{2}=\frac{1}{n} \operatorname{SSE}(\beta)
$$
where
$$
\operatorname{SSE}(\beta)=\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-X_{i}^{\prime} \beta\right)^{2}
$$
is called the sum of squared errors function.
Since $\widehat{S}(\beta)$ is a sample average we can interpret it as an estimator of the expected squared error $S(\beta)$. Examining $\widehat{S}(\beta)$ as a function of $\beta$ is informative about how $S(\beta)$ varies with $\beta$. Since the projection coefficient minimizes $S(\beta)$ an analog estimator minimizes (3.6).
We define the estimator $\widehat{\beta}$ as the minimizer of $\widehat{S}(\beta)$.
For simplicity, we start by considering the case $k=1$ so that there is a scalar regressor $X$ and a scalar coefficient $\beta$. To illustrate, Figure $3.1$ (a) displays a scatter $\operatorname{plot}^{1}$ of 20 pairs $\left(Y_{i}, X_{i}\right)$.
The sum of squared errors $\operatorname{SSE}(\beta)$ is a function of $\beta$. Given $\beta$ we calculate the “error” $Y_{i}-X_{i} \beta$ by taking the vertical distance between $Y_{i}$ and $X_{i} \beta$. This can be seen in Figure 3.1(a) by the vertical lines which connect the observations to the straight line. These vertical lines are the errors $Y_{i}-X_{i} \beta$. The sum of squared errors is the sum of the 20 squared lengths.
The sum of squared errors is the function
$$
\operatorname{SSE}(\beta)=\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-X_{i} \beta\right)^{2}=\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}\right)-2 \beta\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i} Y_{i}\right)+\beta^{2}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}\right)
$$
This is a quadratic function of $\beta$. The sum of squared error function is displayed in Figure $3.1$ (b) over the range $[2,4]$. The coefficient $\beta$ ranges along the $x$-axis. The sum of squared errors SSE $(\beta)$ as a function of $\beta$ is displayed on the $y$-axis.
The OLS estimator $\widehat{\beta}$ minimizes this function. From elementary algebra we know that the minimizer of the quadratic function $a-2 b x+c x^{2}$ is $x=b / c$. Thus the minimizer of $\operatorname{SSE}(\beta)$ is
$$
\widehat{\beta}=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i} Y_{i}}{\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}} .
$$
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Solving for Least Squares with Multiple Regressors
We now consider the case with $k>1$ so that the coefficient $\beta \in \mathbb{R}^{k}$ is a vector.
To illustrate, Figure $3.2$ (a) displays a scatter plot of 100 triples $\left(Y_{i}, X_{1 i}, X_{2 i}\right)$. The regression function $x^{\prime} \beta=x_{1} \beta_{1}+x_{2} \beta_{2}$ is a 2-dimensional surface and is shown as the plane in Figure $3.2(\mathrm{a})$.
vertical distance between $Y_{i}$ and $X_{i}^{\prime} \beta$. This can be seen in Figure 3.2(a) by the vertical lines which connect the observations to the plane. As in the single regressor case these vertical lines are the errors $e_{i}=Y_{i}-$ $X_{i}^{\prime} \beta$. The sum of squared errors is the sum of the 100 squared lengths.
The sum of squared errors can be written as
$$
\operatorname{SSE}(\beta)=\sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}-2 \beta^{\prime} \sum_{i=1}^{n} X_{i} Y_{i}+\beta^{\prime} \sum_{i=1}^{n} X_{i} X_{i}^{\prime} \beta
$$
As in the single regressor case this is a quadratic function in $\beta$. The difference is that in the multiple regressor case this is a vector-valued quadratic function. To visualize the sum of squared errors function Figure 3.2(b) displays $\operatorname{SSE}(\beta)$. Another way to visualize a 3-dimensional surface is by a contour plot. A contour plot of the same $\operatorname{SSE}(\beta)$ function is shown in Figure $3.2(\mathrm{c})$. The contour lines are points in the $\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ space where $\operatorname{SSE}(\beta)$ takes the same value. The contour lines are elliptical since $\operatorname{SSE}(\beta)$ is quadratic.
The least squares estimator $\widehat{\beta}$ minimizes $\operatorname{SSE}(\beta)$. A simple way to find the minimum is by solving the first-order conditions. The latter are
$$
0=\frac{\partial}{\partial \beta} \operatorname{SSE}(\widehat{\beta})=-2 \sum_{i=1}^{n} X_{i} Y_{i}+2 \sum_{i=1}^{n} X_{i} X_{i}^{\prime} \widehat{\beta}
$$
计量经济学代写
经济代写|计量经济学代写ECONOMETRICS代考|LEAST SQUARES ESTIMATOR
线性投影系数 $\beta$ 定义在 $3.3$ 作为期望平方误差的最小值 $S(\beta)$ 定义在 $3.4$. 对于给定的 $\beta$ ，期望平方误差是平方误差的期望 $\left(Y-X^{\prime} \beta\right)^{2}$. 矩估计器 $S(\beta)$ 是样本平均值:
$$
\widehat{S}(\beta)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-X_{i}^{\prime} \beta\right)^{2}=\frac{1}{n} \operatorname{SSE}(\beta)
$$
在哪里
$$
\operatorname{SSE}(\beta)=\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-X_{i}^{\prime} \beta\right)^{2}
$$
称为误差平方和函数。
自从 $\widehat{S}(\beta)$ 是一个样本平均值，我们可以将其解释为预期平方误差的估计值 $S(\beta)$. 检詚 $\widehat{S}(\beta)$ 作为一个函数 $\beta$ 提供有关如何的信息 $S(\beta)$ 随 $\beta$. 由于投影系数最小化 $S(\beta)$ 模拟估计器最小化3.6.
我们定义估计器 $\widehat{\beta}$ 作为最小化器 $\widehat{S}(\beta)$.
为简单起见，我们首先考虞这种情况 $k=1$ 所以有一个标量回归器 $X$ 和一个标量系数 $\beta$. 为了说明，图 $3.1 a$ 显示散点图 $p l o t^{1} 20$ 对 $\left(Y_{i}, X_{i}\right)$.
误差平方和 $\operatorname{SSE}(\beta)$ 是一个函数 $\beta$. 给定 $\beta$ 我们计算“误差” $Y_{i}-X_{i} \beta$ 通过采取之间的垂直距离 $Y_{i}$ 和 $X_{i} \beta$. 这可以在图 $3.1$ 中看到 $a$ 通过将观崇结果与直线连接起来的垂 直线。这些垂直线是错误 $Y_{i}-X_{i} \beta$. 误差平方和是 20 个平方长度之和。
误差平方和是函数
$$
\operatorname{SSE}(\beta)=\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-X_{i} \beta\right)^{2}=\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}\right)-2 \beta\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i} Y_{i}\right)+\beta^{2}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}\right)
$$
这是一个二次函数 $\beta$. 误差平方和函数如图所示 $3.1 b$ 在范围内 $[2,4]$. 系数 $\beta$ 范围沿 $x$-轴。误差平方和 $\mathrm{SSE}(\beta)$ 作为一个函数 $\beta$ 显示在 $y$-轴。
OLS估计器 $\widehat{\beta}$ 最小化这个函数。从初等代数我们知道二次函数的极小化 $a-2 b x+c x^{2}$ 是 $x=b / c$ 因此最小化器 $\mathrm{SSE}(\beta)$ 是
$$
\widehat{\beta}=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i} Y_{i}}{\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}} .
$$
经济代写|计量经济学代写ECONOMETRICS代考|SOLVING FOR LEAST SQUARES WITH MULTIPLE REGRESSORS
我们现在考慮这种情况 $k>1$ 使得系数 $\beta \in \mathbb{R}^{k}$ 是一个向量。
为了说明，图 $3.2 a$ 显示 100 个三元组的散点图 $\left(Y_{i}, X_{1 i}, X_{2 i}\right)$. 回归函数 $x^{\prime} \beta=x_{1} \beta_{1}+x_{2} \beta_{2}$ 是一个二维表面，如图中的平面所示3.2(a)
之间的垂直距离 $Y_{i}$ 和 $X_{i}^{\prime} \beta$. 这可以在图 $3.2$ 中看到 $a$ 通过将观察结果连接到平面的垂直线。在单一回归量的情况下，这些垂直线是错误 $e_{i}=Y_{i}-X_{i}^{\prime} \beta$. 误差平方和是
100 个平方长度之和。
误差平方和可以写为
$$
\operatorname{SSE}(\beta)=\sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}-2 \beta^{\prime} \sum_{i=1}^{n} X_{i} Y_{i}+\beta^{\prime} \sum_{i=1}^{n} X_{i} X_{i}^{\prime} \beta
$$
与单一回归量情况一样，这是一个二次函数 $\beta$. 不同之处在于，在多重回归的情况下，这是一个向量值二次函数。可视化淏差平方和函数图 3.2b显示 $\mathrm{SSE}(\beta)$. 另一 种可视化 3 维表面的方法是使用等高线图。相同的等高线图 $\operatorname{SSE}(\beta)$ 功能如图 $3.2(\mathrm{c})$. 等高线是 $\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ 空间在哪里SSE $(\beta)$ 取相同的值。等高线是椭圆的，因为 $\mathrm{SSE}(\beta)$ 是二次的。
最小二乘估计器 $\widehat{\beta}$ 最小化 $\operatorname{SSE}(\beta)$. 找到最小值的一种简单方法是求解一阶条件。后者是
$$
0=\frac{\partial}{\partial \beta} \operatorname{SSE}(\widehat{\beta})=-2 \sum_{i=1}^{n} X_{i} Y_{i}+2 \sum_{i=1}^{n} X_{i} X_{i} X_{i} \widehat{\beta}
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
