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数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|MAST90068 Group Representations

如果你也在 怎样代写同调代数Homological Algebra MAST90068这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。同调代数Homological Algebra是数学的一个分支,研究一般代数环境中的同源性。它是一门相对年轻的学科,其起源可以追溯到19世纪末的组合拓扑学(代数拓扑学的前身)和抽象代数(模块和共轭理论)的研究,主要是由亨利-庞加莱和大卫-希尔伯特提出。

同调代数Homological Algebra是研究同源漏斗和它们所带来的复杂的代数结构;它的发展与范畴理论的出现紧密地联系在一起。一个核心概念是链复合体,可以通过其同调和同调来研究。它在代数拓扑学中发挥了巨大的作用。它的影响逐渐扩大,目前包括换元代数、代数几何、代数理论、表示理论、数学物理学、算子矩阵、复分析和偏微分方程理论。K理论是一门独立的学科,它借鉴了同调代数的方法,正如阿兰-康尼斯的非交换几何一样。

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数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|MA3204 Basic Definitions

数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|Group Representations

By Lemma 1.1.14 a module over a $K$-algebra $A$ is given by an algebra homomorphism $A \longrightarrow E n d_K(M)$. In the case of a group, we want to study representations as well. Here, staying in the philosophy expressed previously, we understand a representation to be a concrete realisation of an abstract group by an action on a “real world object”, in our case a $K$-vector space where $K$ is a field.

Group Algebras and Their Modules
Since group elements have inverses, the same should be true for the representation of a group. So, a representation of a group $G$ is a homomorphism of $G$ to the group of invertible matrices.

Definition 1.2.1 Let $G$ be a group and $K$ be a field. A representation of $G$ over $K$ of degree $n \in \mathbb{N}$ is a group homomorphism $G \longrightarrow G L_n(K)$. If the kernel of this homomorphism is all of $G$, then we say that $G$ acts trivially, and if in addition $n=1$, we call the representation the trivial representation.

There are at least two obvious drawbacks to this concept. First, it would be nice if we could phrase this idea in our setting of modules over an algebra. Second, we see that we would like to use at least some of the additional information the matrices provide. One of the most obvious ones is the fact that $G L_n(K)$ is the unit group of an algebra, the ring $\operatorname{Mat}_{n \times n}(K)$ of degree $n$ square matrices. Just as we can form linear combinations of invertible matrices of the same size to get a (not necessarily invertible) square matrix, we can formally form $K$-linear combinations of group elements and get a $K$-algebra. This is the concept of a group ring.

Definition 1.2.2 Let $G$ be a group and let $R$ be a commutative ring. The group ring $R G$ as an $R$-module is the $R$-module $\oplus_{g \in G} R \cdot e_g$, where $R \cdot e_g=R$ for all $g \in G$. This becomes an $R$-algebra when one sets
$$
\left(\sum_{h_1 \in G} r_{h_1} e_{h_1}\right) \cdot\left(\sum_{h_2 \in G} s_{h_2} e_{h_2}\right):=\sum_{g \in G}\left(\sum_{h \in G} r_h s_{h^{-1} g}\right) e_g .
$$
Occasionally we shall also call a group ring a group algebra if we want to stress the algebra structure.

We should explicitly mention that if $G$ is infinite, the fact that $R G$ is defined as a direct sum $\coprod_{g \in G} R$ of copies of $R$ as $R$-modules implies that an element $x=$ $\sum_{g \in G} r_g e_g$ has only a finite number of non-zero coefficients $r_g$. In other words, for any $x=\sum_{g \in G} r_g e_g \in R G$ we have
$$
\left|\left{g \in G \mid r_g \neq 0\right}\right|<\infty .
$$
Now, the group of invertible elements $(R G)^{\times}$of $R G$ contains $G$ as a subgroup. Indeed, the mapping
$$
\begin{aligned}
&G \longrightarrow(R G)^{\times} \
&g \mapsto 1 \cdot e_g
\end{aligned}
$$
is a group monomorphism. The image of this homomorphism will again be denoted by $G$.

数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|Maschke’s Theorem

We now prove one of the most important results in the representation theory of finite groups. The result actually states that if $G$ is a finite group of order $n$ and $K$ is a field with $n \cdot K=K$, then any module of $K G$ is semisimple.

Theorem 1.2.8 (Maschke 1905) Let $G$ be a finite group and let $K$ be a field. If the order of $G$ is invertible in $K$, then $K G$ is semisimple.

Proof We shall first show that for any $K G$-module $M$ and any submodule $N$ of $M$ there is another submodule $L$ of $M$ such that $M \simeq N \oplus L$.

Once this is done we proceed by induction on the dimension of $M$. The statement is clear for one-dimensional modules. Suppose we have shown that any module of dimension up to $n$ is semisimple, and that we have given an $n+1$-dimensional module $M$. If $M$ does not have a proper non-zero submodule, then $M$ is simple. If this is not the case, then there is a proper non-zero submodule $N$ of $M$. By the argument which we are about to develop below, there is another submodule $L$ of $M$ such that $M \simeq L \oplus N$. Since the dimensions of $L$ and of $N$ are both at most $n$, these two modules are semisimple, and hence $M$ is semisimple.

Suppose that $N$ is a proper non-zero submodule of $M$. Then the quotient $\tilde{L}:=$ $M / N$ is a $K G$-module as well. Denote by $\pi: M \longrightarrow \tilde{L}$ the mapping $\pi(m)=m+N$.

We may choose a $K$-basis $\mathcal{N}$ of $N$ which we may complete by vectors $\mathcal{L}$ to a $K$ basis $\mathcal{M}=\mathcal{N} \cup \mathcal{L}$ of $M$. Then ${l+N \mid l \in \mathcal{L}}$ is a $K$-basis of $\tilde{L}$. Denote by $\tilde{\rho}$ the $K$-linear mapping $\tilde{L} \longrightarrow M$ defined by $\tilde{\rho}(l+N):=l$ for any $l \in \mathcal{L}$. By definition, $\pi \circ \tilde{\rho}=i d_{\tilde{L}}$. Moreover, $\pi$ is a $K G$-module homomorphism, but there is however no reason why $\tilde{\rho}$ should be a $K G$-module homomorphism.
Define
$$
\begin{aligned}
\rho: \tilde{L} & \longrightarrow M \
l+N & \mapsto \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} e_g^{-1} \tilde{\rho}\left(e_g \cdot(l+N)\right)
\end{aligned}
$$
Remark 1.2.9 Observe that we assumed that $|G|$ is invertible in $K$, and so the term $\frac{1}{|G|} \in K$ makes sense. This is the only occasion when we shall use this hypothesis.
Since $\tilde{\rho}$ is a well-defined homomorphism of $K$-vector spaces, this is true for $\rho$ as well. Moreover, for any $l+N \in \tilde{L}$ one has
$$
\begin{aligned}
\pi \circ \rho(l+N) &=\pi\left(\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} e_g^{-1} \tilde{\rho}\left(e_g \cdot(l+N)\right)\right) \
&=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} e_g^{-1} \pi\left(\tilde{\rho}\left(e_g \cdot(l+N)\right)\right) \
&=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} e_g^{-1} e_g \cdot(l+N) \
&=l+N
\end{aligned}
$$
and so, $\pi \circ \rho=i d_{\tilde{L}}$.

数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|MA3204 Basic Definitions

同调代数代写

数学代写|同调代数代写同构代数代考|组表示


由引理1.1.14 $K$ -algebra $A$上的一个模块是由代数同态$A \longrightarrow E n d_K(M)$给出的。在群体的情况下,我们也想研究表征。在这里,停留在前面所表达的哲学中,我们将表示理解为通过对“真实世界对象”的操作对抽象组的具体实现,在我们的例子中是$K$ -vector空间,其中$K$是一个字段

群代数和它们的模块
由于群元素有逆,对一个群的表示也应成立。因此,群$G$的表示是$G$对可逆矩阵群的同态

定义1.2.1设置$G$为组,$K$为字段。$G$对$K$的度$n \in \mathbb{N}$的表示是一个群同态$G \longrightarrow G L_n(K)$。如果这个同态的核是$G$的全部,那么我们说$G$的行为微不足道,如果另外是$n=1$,我们称这个表示为微不足道的表示 这个概念至少有两个明显的缺点。首先,如果我们能在代数的模块设置中表达这个想法就好了。其次,我们看到我们希望至少使用矩阵提供的一些附加信息。其中最明显的一个事实是$G L_n(K)$是一个代数的单位组,度$n$方阵的环$\operatorname{Mat}_{n \times n}(K)$。就像我们可以用相同大小的可逆矩阵的线性组合来得到一个(不一定是可逆的)方阵一样,我们可以形式上用$K$ -群元素的线性组合来得到$K$ -代数。 定义1.2.2 Let $G$ 团结一致,让 $R$ 是交换环。群环 $R G$ 作为 $R$-module是 $R$-模块 $\oplus_{g \in G} R \cdot e_g$,其中 $R \cdot e_g=R$ 为了所有人 $g \in G$。这就变成了 $R$-代数当一个设置
$$
\left(\sum_{h_1 \in G} r_{h_1} e_{h_1}\right) \cdot\left(\sum_{h_2 \in G} s_{h_2} e_{h_2}\right):=\sum_{g \in G}\left(\sum_{h \in G} r_h s_{h^{-1} g}\right) e_g .
$$有时,如果我们想强调代数结构,我们也会称一个组环为组代数 我们应该明确地提到,如果$G$是无限的,$R G$被定义为$R$副本的直接和$\coprod_{g \in G} R$为$R$ -modules,这意味着元素$x=$$\sum_{g \in G} r_g e_g$只有有限的非零系数$r_g$。换句话说,对于任何$x=\sum_{g \in G} r_g e_g \in R G$,我们有
$$
\left|\left{g \in G \mid r_g \neq 0\right}\right|<\infty .
$$
。现在,$R G$的可逆元素组$(R G)^{\times}$包含$G$作为一个子组。实际上,映射
$$
\begin{aligned}
&G \longrightarrow(R G)^{\times} \
&g \mapsto 1 \cdot e_g
\end{aligned}
$$
是组单态。这个同态的像将再次用$G$ .

表示

数学代写|同调代数代写同构代数代考|马士基定理


我们现在证明有限群表示理论中一个最重要的结果。结果实际上表明,如果$G$是一个有限的$n$顺序组,$K$是一个带$n \cdot K=K$的字段,那么$K G$的任何模块都是半简单的

定理1.2.8 (Maschke 1905)设$G$为有限群,设$K$为域。如果$G$的顺序在$K$中是可逆的,那么$K G$是半简单的 我们首先要证明,对于任何$K G$ -模块$M$和$M$的任何子模块$N$,都有一个$M$的子模块$L$,这样$M \simeq N \oplus L$ .


完成后,我们继续对$M$维度进行归纳。对于一维模块,这条语句很清楚。假设我们已经展示了在$n$之前的任何维度的模块都是半简单的,并且我们给出了$n+1$ -dimensional模块$M$。如果$M$没有合适的非零子模块,那么$M$很简单。如果不是这样,那么$M$的$N$有一个适当的非零子模块。根据我们将要在下面开发的论证,$M$的另一个子模块$L$,例如$M \simeq L \oplus N$。由于$L$和$N$的维数都不超过$n$,所以这两个模块是半简的,因此$M$是半简的


假设$N$是$M$的一个适当的非零子模块。然后,商$\tilde{L}:=$$M / N$也是一个$K G$ -模块。通过$\pi: M \longrightarrow \tilde{L}$表示映射$\pi(m)=m+N$ .

我们可以选择$N$的$K$ -basis $\mathcal{N}$,我们可以通过向量$\mathcal{L}$来完成,而$K$ basis $\mathcal{M}=\mathcal{N} \cup \mathcal{L}$的$M$。那么${l+N \mid l \in \mathcal{L}}$就是$\tilde{L}$的$K$基础。用$\tilde{\rho}$表示由$\tilde{\rho}(l+N):=l$为任何$l \in \mathcal{L}$定义的$K$ -线性映射$\tilde{L} \longrightarrow M$。根据定义,是$\pi \circ \tilde{\rho}=i d_{\tilde{L}}$。此外,$\pi$是一个$K G$ -module同态,但是没有理由为什么$\tilde{\rho}$应该是$K G$ -module同态。
定义
$$
\begin{aligned}
\rho: \tilde{L} & \longrightarrow M \
l+N & \mapsto \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} e_g^{-1} \tilde{\rho}\left(e_g \cdot(l+N)\right)
\end{aligned}
$$
备注1.2.9注意,我们假设$|G|$在$K$中是可逆的,因此术语$\frac{1}{|G|} \in K$是有意义的。只有在这种情况下我们才会使用这种假设。因为$\tilde{\rho}$是$K$ -向量空间的一个定义良好的同态,所以对于$\rho$也是如此。此外,对于任何$l+N \in \tilde{L}$,都有
$$
\begin{aligned}
\pi \circ \rho(l+N) &=\pi\left(\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} e_g^{-1} \tilde{\rho}\left(e_g \cdot(l+N)\right)\right) \
&=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} e_g^{-1} \pi\left(\tilde{\rho}\left(e_g \cdot(l+N)\right)\right) \
&=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} e_g^{-1} e_g \cdot(l+N) \
&=l+N
\end{aligned}
$$
,因此$\pi \circ \rho=i d_{\tilde{L}}$ .

数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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