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# 数学代写|数学物理代写Mathematical Physics代考|AEP4210 Introduction: What Is Local Smoothing

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## 数学代写|数学物理代写Mathematical Physics代考|Introduction: What Is Local Smoothing

In $\mathbb{R}^n$, the Schrödinger propagator at time $t$ is unitary on $H^s$ spaces. However, solutions to the linear Schrödinger equation on $\mathbb{R}^n$ are smoother on average in time, and locally in space:
$$\int_0^T\left|\langle x\rangle^{-1 / 2-\epsilon} e^{i t \Delta} u_0\right|_{H^{1 / 2}}^2 d t \leq C\left|u_0\right|_{L^2}^2 .$$
What about different geometries? In [5], Doi showed the $H^{1 / 2}$ smoothing effect holds on asymptotically Euclidean manifolds if and only if the manifold is nontrapping (meaning all geodesics escape to infinity).

## 数学代写|数学物理代写Mathematical Physics代考|Trapping: Hyperbolic Orbits – Local Smoothing

What about trapping geometries? There are several previous results in this direction. Theorem 1 ([3]). Let $(M, g)$ non-compact, Riemannian manifold with or without a compact boundary, and assume $M$ is asymptotically Euclidean (multiple copies is okay) outside a compact set, and assume $\gamma \subset M$ is a hyperbolic closed geodesic with only transversal reflections, and $M$ non-trapping otherwise. Let $r=$ dist $_g\left(x, x_0\right)$ be a “radial” variable. Then for all $\epsilon>0$, there exists $C>0$ such that
$$\int_0^T\left|\langle r\rangle^{-1 / 2-\epsilon} e^{i t \Delta_g} u_0\right|_{H^{1 / 2-c}}^2 d t \leq C\left|u_0\right|_{L^2}^2 .$$

This generalizes results of Burq [1] (Ikawa’s example), and has been generalized by the first author [2] and also by Datchev [4]. Apart from exhibiting a deep connection between geometry and dispersion, there are additional applications to Strichartz estimates and nonlinear Schrödinger equations.

## 数学代写|数学物理代写数学物理代考|简介:什么是局部平滑

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$$\int_0^T\left|\langle x\rangle^{-1 / 2-\epsilon} e^{i t \Delta} u_0\right|{H^{1 / 2}}^2 d t \leq C\left|u_0\right|{L^2}^2 .$$

## 数学代写|数学物理代写数学物理代考|陷阱:双曲轨道-局部平滑

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$$\int_0^T\left|\langle r\rangle^{-1 / 2-\epsilon} e^{i t \Delta_g} u_0\right|_{H^{1 / 2-c}}^2 d t \leq C\left|u_0\right|_{L^2}^2 .$$

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。