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# 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MATH345 General linear multistep methods

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## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|General linear multistep methods

This section considers a general class of integrators known as linear multistep methods.

Definition 5.2. general $m$-step linear multistep method has the form
$$\sum_{j=0}^m \alpha_j x_{k+j}=h \sum_{j=0}^m \beta_j f\left(t_{k+j}, x_{k+j}\right),$$
with $\alpha_m \neq 0$. If $\beta_m \neq 0$, then the formula for $x_{k+m}$ involves $x_{k+m}$ on the right hand side, so the method is implicit; otherwise, the method is explicit. A final convention requires $\left|\alpha_0\right|+\left|\beta_0\right| \neq 0$, for if $\alpha_0=$ $\beta_0=0$, then we actually have an $m-1$ step method masquerading as a $m$-step method. As $f$ is only evaluated at $\left(t_j, x_j\right)$, we adopt the abbreviation
$$f_j=f\left(t_j, x_j\right)$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Truncation error for linear multistep methods

Recall that the truncation error of one-step methods of the form $x_{k+1}=x_k+h \Phi\left(t_k, x_k ; h\right)$ was given by
$$T_k=\frac{x\left(t_{k+1}\right)-x\left(t_k\right)}{h}-\Phi\left(t_k, x_k ; h\right) .$$
With general linear multistep methods is associated an analogous formula, based on substituting the exact solution $x\left(t_k\right)$ for the approximation $x_k$, and rearranging terms.
Definition 5.3. The truncation error for the linear multistep method
$$\sum_{j=0}^m \alpha_j x_{k+j}=h \sum_{j=0}^m \beta_j f\left(t_{k+j}, x_{k+j}\right)$$
is given by the formula
$$T_k=\frac{\sum_{j=0}^m\left[\alpha_j x\left(t_{k+j}\right)-h \beta_j f\left(t_{k+j}, x\left(t_{k+j}\right)\right)\right]}{h \sum_{j=0}^m \beta_j} .$$

## 数学代写|数值分析代写NUMERICAL ANALYSIS代考|GENERAL LINEAR MULTISTEP METHODS

$$\sum_{j=0}^m \alpha_j x_{k+j}=h \sum_{j=0}^m \beta_j f\left(t_{k+j}, x_{k+j}\right)$$

$$f_j=f\left(t_j, x_j\right)$$

## 数学代写|数值分析代写NUMERICAL ANALYSIS代考|TRUNCATION ERROR FOR LINEAR MULTISTEP METHODS

$$T_k=\frac{x\left(t_{k+1}\right)-x\left(t_k\right)}{h}-\Phi\left(t_k, x_k ; h\right)$$

$$\sum_{j=0}^m \alpha_j x_{k+j}=h \sum_{j=0}^m \beta_j f\left(t_{k+j}, x_{k+j}\right)$$

$$T_k=\frac{\sum_{j=0}^m\left[\alpha_j x\left(t_{k+j}\right)-h \beta_j f\left(t_{k+j}, x\left(t_{k+j}\right)\right)\right]}{h \sum_{j=0}^m \beta_j}$$

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。