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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH483 Polynomial Rings are Unique Factorization Domains

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念,以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH483 Polynomial Rings are Unique Factorization Domains

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Polynomial Rings are Unique Factorization Domains

One of the most important and basic results in the theory of unique factorization domains is the theorem of Gauss according to which polynomial rings with coefficients in a unique factorization domain are themselves unique factorization domains.

So let $\mathrm{A}$ be a unique factorization domain. We first recall that the units of $\mathrm{A}[\mathrm{T}]$ are the units of $\mathrm{A}^{\times}$, viewed as constant polynomials (corollary 1.3.14).

Definition (2.6.1). – Let A be a unique factorization domain and let $\mathrm{P}$ be any polynomial in $\mathrm{A}[\mathrm{T}]$. The content of $\mathrm{P}$, denoted by $\operatorname{ct}(\mathrm{P})$, is defined as a greatest common divisor of the coefficients of $P$. One says that a polynomial is primitive if its content is a unit, that is to say, if its coefficients are coprime.
As usual for questions of gcd, the content of a non-zero polynomial is only well defined if we have normalized the decomposition into irreducible factors; otherwise, it is defined up to multiplication by a unit. The content of the zero polynomial is 0 .

Lemma (2.6.2). – Let A be a unique factorization domain, let $\mathrm{K}$ be its field of fractions.
(i) For any polynomial $\mathrm{P} \in \mathrm{K}[\mathrm{T}]$, there exist a primitive polynomial $\mathrm{P}_1 \in \mathrm{A}[\mathrm{T}]$ and an element $a \in \mathrm{K}$ such that $\mathrm{P}=a \mathrm{P}_1$.
(ii) Let $\mathrm{P}=a \mathrm{P}_1$ be such a decomposition. Then, $\mathrm{P} \in \mathrm{A}[\mathrm{T}]$ if and only if $a \in \mathrm{A}$; in that case, $a=\operatorname{ct}(\mathrm{P})$. In particular, $\mathrm{P}$ is a primitive polynomial of $\mathrm{A}[\mathrm{T}]$ if and only if $a$ is a unit in A.

Proof. – a) If $\mathrm{P}=0$, we set $a=0$ and $\mathrm{P}_1=1$. Assume $\mathrm{P} \neq 0$. Let $d \in \mathrm{A}-{0}$ be a common denominator of all of the coefficients of $\mathrm{P}$, so that $d \mathrm{P} \in \mathrm{A}[\mathrm{T}]$. Let then $b \in \mathrm{A}$ be the content of the polynomial $d \mathrm{P}$ and set $\mathrm{P}_1=(d \mathrm{P}) / b$ and $a=b / d$. The polynomial $\mathrm{P}_1$ belongs to $\mathrm{A}[\mathrm{T}]$ and is primitive; one has $\mathrm{P}=a \mathrm{P}_1$.
b) If $a \in \mathrm{A}$, it is clear that $\mathrm{P} \in \mathrm{A}[\mathrm{T}]$. Conversely, assume that $\mathrm{P} \in \mathrm{A}[\mathrm{T}]$ and let us show that $a \in \mathrm{A}$. Let $b$ and $c$ be elements of A such that $a=b / c$. We write $b=a c$, hence $b \mathrm{P}_1=a c \mathrm{P}_1=c \mathrm{P}$, from which we deduce that $b=\operatorname{ct}(c \mathrm{P})=c \operatorname{ct}(\mathrm{P})$. It follows that $c$ divides $b$ and $a=\operatorname{ct}(\mathrm{P}) \in \mathrm{A}$.

If $a$ is a unit in $\mathrm{A}$, then $\mathrm{P}$ is a primitive polynomial in $\mathrm{A}[\mathrm{T}]$. Conversely, assume that $P$ is a primitive polynomial in $\mathrm{A}[\mathrm{T}]$. By the preceding paragraph, we have $a \in \mathrm{A}$. Then $\operatorname{ct}(\mathrm{P})=a \operatorname{ct}\left(\mathrm{P}_1\right)$ is a unit, hence $a$ is a unit.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Resultants and Another Theorem of Bézout

Throughout this section, A is a commutative ring. We shall make some use of determinants of matrices.

Definition (2.7.1). – Let $m, n$ be positive integers, let $\mathrm{P}$ and $\mathrm{Q}$ be two polynomials in $\mathrm{A}[\mathrm{X}]$ such that $\operatorname{deg}(\mathrm{P}) \leq n$ and $\operatorname{deg}(\mathrm{Q}) \leq m$. Write $\mathrm{P}=a_n \mathrm{X}^n+\cdots+a_0$ and $\mathrm{Q}=b_m \mathrm{X}^m+\cdots+b_0$, for $a_0, \ldots, a_n, b_0, \ldots, b_m \in \mathrm{A}$. The resultant (in sizes $(n, m))$ of $(\mathrm{P}, \mathrm{Q})$ is defined as the determinant
(Precisely, the column vector $\left(a_0, \ldots, a_n\right)$ is copied $m$ times, each time shifted by one row, then the column vector $\left(b_0, \ldots, b_m\right)$ is copied $n$ times, each time shifted by one row.)

Remark (2.7.2). – Let $\mathrm{P}$ and $\mathrm{Q} \in \mathrm{A}[\mathrm{X}]$ be polynomials as above, and let $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ be a morphism of rings. Let $\mathrm{P}^f$ and $\mathrm{Q}^f$ be the polynomials in $\mathrm{B}[\mathrm{X}]$ deduced from $\mathrm{P}$ and $\mathrm{Q}$ by applying $f$ to their coefficients. One has $\operatorname{deg}\left(\mathrm{P}^f\right) \leq n$ and $\operatorname{deg}\left(\mathrm{Q}^f\right) \leq m$. The resultant $\operatorname{Res}{n, m}(\mathrm{P}, \mathrm{Q})$ is the determinant of the matrix of the definition, while the resultant $\operatorname{Res}{n, m}\left(\mathrm{P}^f, \mathrm{Q}^f\right)$ is the determinant of the matrix obtained by applying $f$ to each entry. Since the determinant is a polynomial expression, we obtain the equality
$$
\operatorname{Res}{n, m}\left(\mathrm{P}^f, \mathrm{Q}^f\right)=f\left(\operatorname{Res}{n, m}(\mathrm{P}, \mathrm{Q})\right)
$$

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH483 Polynomial Rings are Unique Factorization Domains

交换代数代写

数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代考|POLYNOMIAL RINGS ARE UNIQUE FACTORIZATION DOMAINS


唯一分解域理论中最重要和最基本的结果之一是高斯定理,根据该定理,在唯一分解域中具有系数的多项式环本身就是唯一分解域。
所以让 $\mathrm{A}$ 是唯一的分解域。我们首先回忆一下 $\mathrm{A}[\mathrm{T}]$ 是单位 $\mathrm{A}^{\times}$, 视为常数多项式corollary1.3.14.
定义 2.6.1. – 设 $\mathrm{A}$ 为唯一的因式分解域并设 $\mathrm{P}$ 是任何多项式 $\mathrm{A}[\mathrm{T}]$. 的内容 $\mathrm{P}$, 表示为 $\operatorname{ct}(\mathrm{P})$, 被定义为系数的最大公约数 $P$. 如果一个多项式的内容是一个单位,也就是 说,如果它的系数是互质的,则有人说它是本原㝖项式。
与 gcd 的问题一样,非零㝖项式的内容只有在我们将分解归一化为不可约因子时才能明确定义;否则,它被定义为乘以一个单位。雩多项式的内容是 0。
引理2.6.2. – 令 $A$ 为唯一的分解域,令 $K$ 是它的分数域。
$i$ 对于任何多项式 $\mathrm{P} \in \mathrm{K}[\mathrm{T}]$, 存在一个本原多项式 $\mathrm{P}1 \in \mathrm{A}[\mathrm{T}]$ 和一个元塐 $a \in \mathrm{K}$ 这样 $\mathrm{P}=a \mathrm{P}_1$. $i i$ 让 $\mathrm{P}=a \mathrm{P}_1$ 被这样分解。然后, $\mathrm{P} \in \mathrm{A}[\mathrm{T}]$ 当且仅当 $a \in \mathrm{A}$; 在这种情况下, $a=\operatorname{ct}(\mathrm{P})$. 尤其是, $\mathrm{P}$ 是一个原始多项式 $\mathrm{A}[\mathrm{T}]$ 当且仅当 $a$ 是 $\mathrm{A}$ 中的一个单位。 证明。 – a) 如果 $\mathrm{P}=0$ ,我们设置 $a=0$ 和 $\mathrm{P}_1=1$. 认为 $\mathrm{P} \neq 0$. 让 $d \in \mathrm{A}-0$ 是所有系数的公分母 $\mathrm{P}$ ,以便 $d \mathrm{P} \in \mathrm{A}[\mathrm{T}]$. 那就让 $b \in \mathrm{A}$ 是㫡项式的内容 $d \mathrm{P}$ 并设置 $\mathrm{P}_1=(d \mathrm{P}) / b$ 和 $a=b / d$. 多项式 $\mathrm{P}_1$ 属于 $\mathrm{A}[\mathrm{T}]$ 并且是原始的; 一个有 $\mathrm{P}=a \mathrm{P}_1$. b) 如果 $a \in \mathrm{A}$ ,很清楚 $\mathrm{P} \in \mathrm{A}[\mathrm{T}]$. 相反,假设 $\mathrm{P} \in \mathrm{A}[\mathrm{T}]$ 让我们证明 $a \in \mathrm{A}$. 让 $b$ 和 $c$ 是 $\mathrm{A}$ 的元嫊,使得 $a=b / c$. 我们写 $b=a c{\text {~}}$ 因此 $b \mathrm{P}_1=a c \mathrm{P}_1=c \mathrm{P}$ ,我们从中 推断出 $b=\operatorname{ct}(c \mathrm{P})=c \operatorname{ct}(\mathrm{P})$. 它逽循 $c$ 分裂 $b$ 和 $a=\operatorname{ct}(\mathrm{P}) \in \mathrm{A}$.
如果 $a$ 是一个单位 $\mathrm{A}$ ,然后 $\mathrm{P}$ 是一个本原多项式 $\mathrm{A}[\mathrm{T}]$. 相反,假设 $P$ 是一个本原多项式 $\mathrm{A}[\mathrm{T}]$. 根据上一段,我们有 $a \in \mathrm{A}$. 然后ct $(\mathrm{P})=a$ ct $\left(\mathrm{P}_1\right)$ 是一个单位,因此 $a$ 是一个单位。


数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代考|RESULTANTS AND ANOTHER THEOREM OF BÉZOUT


在本节中, $\mathrm{A}$ 是交换环。我们将使用矩阵的行列式。
是义2.7.1. – 让 $m, n$ 是正整数,让 $\mathrm{P}$ 和 $\mathrm{Q}$ 是两个多项式 $\mathrm{A}[\mathrm{X}]$ 这样 $\operatorname{deg}(\mathrm{P}) \leq n$ 和 $\operatorname{deg}(\mathrm{Q}) \leq m$ 写 $\mathrm{P}=a_n \mathrm{X}^n+\cdots+a_0$ 和 $\mathrm{Q}=b_m \mathrm{X}^m+\cdots+b_0$ ,为了 times, eachtimeshiftedbyonerow, thenthecolumnvector 剩下 $\mathrm{b} 0, \backslash \mathrm{ldots}, \mathrm{b} \mathrm{m} \backslash \mathrm{right}$ iscopied $\$$ 次,每次移动一行。)
评论2.7.2. -让 $\mathrm{P}$ 和 $\mathrm{Q} \in \mathrm{A}[\mathrm{X}]$ 是上面的多项式,并且让 $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ 是环的态射。让 $\mathrm{P}^f$ 和 $\mathrm{Q}^f$ 是多项式 $\mathrm{B}[\mathrm{X}] 从 \mathrm{P}$ 和 $\mathrm{Q}$ 通过应用 $f$ 到他们的系数。一个有 $\mathrm{deg}\left(\mathrm{P}^f\right) \leq n$ 和 $\operatorname{deg}\left(\mathrm{Q}^f\right) \leq m$. 结果Res $n, m(\mathrm{P}, \mathrm{Q})$ 是定义矩阵的行列式,而结果Res $n, m\left(\mathrm{P}^f, \mathrm{Q}^f\right)$ 是通过应用获得的矩阵的行列式 $f$ 到每个条目。由于行列式是多项式,我们 得到等式
$$
\operatorname{Res} n, m\left(\mathrm{P}^f, \mathrm{Q}^f\right)=f(\operatorname{Res} n, m(\mathrm{P}, \mathrm{Q}))
$$

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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