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# 数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|TFYS7027 Borel Functional Calculus

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## 数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Borel Functional Calculus

Let $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ be a self-adjoint operator. In this section we will generalize the continuous functional calculus for $x$ to a wider class of functions, namely the bounded Borel functions on $\sigma(x)$. We begin with a proposition on automatic continuity of certain $*-$ homomorphisms. ${ }^3$

Proposition $4.9$ Let $\mathcal{K}$ be a Hilbert space and let $\mathrm{B}$ be a Banach -algebra with unit. Consider a unital $$-homomorphism \Phi: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{B}(\mathcal{K}). Then \Phi is a contraction. Proof Let b \in \mathrm{B} and \lambda \in \mathbb{C} be such that \lambda \mathbb{1}-b is invertible in \mathrm{B}. Then \lambda \mathbb{1}-\Phi(b) is an invertible operator. In particular, putting b^* b instead of b we obtain \sigma\left(\Phi\left(b^* b\right)\right) \subset\left{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lambda \mathbb{1}-b^* b\right. is not invertible in \left.\mathrm{B}\right} Therefore$$
\begin{aligned}
|\Phi(b)|^2 & =\left|\Phi(b)^* \Phi(b)\right|=\left|\Phi\left(b^* b\right)\right|=\left|\sigma\left(\Phi\left(b^* b\right)\right)\right| \
& \leq \sup \left{|\lambda| \mid \lambda \mathbb{1}-b^* b \text { is not invertible in B }\right} \leq\left|b^* b\right|=|b|^2,
\end{aligned}
$$where the last equality follows from the fact that if |\lambda|>\left|b^* b\right| then \lambda \mathbb{1}-b^* b is invertible with$$
\left(\lambda \mathbb{1}-b^* b\right)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n-1}\left(b^* b\right)^n
$$(the series converges in the Banach algebra \mathrm{B} ). This argument shows that every unital homomorphism from a Banach$$-algebra to $\mathrm{B}(\mathcal{K})$ is contractive.

## 数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Spectral Measures

Let $\Omega$ be a set and let $\mathfrak{M}$ be a $\sigma$-algebra of subsets of $\Omega$. A spectral measure on $\Omega$ is a $\operatorname{map} E: \mathfrak{M} \rightarrow \operatorname{Proj}(\mathrm{B}(\mathcal{H}))$ such that
$=E(\emptyset)=0, E(\Omega)=\mathbb{1}$,

• for any $\Delta_1, \Delta_2 \in \mathfrak{M}$ we have $E\left(\Delta_1 \cap \Delta_2\right)=E\left(\Delta_1\right) E\left(\Delta_2\right)$,
• for pairwise disjoint $\Delta_1, \Delta_2, \ldots \in \mathfrak{M}$ we have $E\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} \Delta_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} E\left(\Delta_n\right)$.
The sum in the last condition is taken to mean the limit of finite sums in strong topology. Note that it follows from the first two conditions that projections corresponding to disjoint sets are orthogonal and hence their sum is a projection.

Fundamental examples of spectral measures arise from self-adjoint operators: let $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ be self-adjoint, put $\Omega=\sigma(x)$ and let $\mathfrak{M}$ be the $\sigma$-algebra of Borel subsets of $\sigma(x)$. Define
$$E_x: \mathfrak{M} \ni \Delta \longmapsto \chi_{\Delta}(x) \in \operatorname{Proj}(\mathrm{B}(\mathcal{H}))$$

## 数学代写|希尔伯特空间代写HILBERT SPACE代考|BOREL FUNCTIONAL CALCULUS

$\left(\lambda 1-b^* b\right)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n-1}\left(b^* b\right)^n($ theseriesconvergesintheBanachalgebra $\backslash$ mathrm{B} $)$ 。这个论证表明来自 Banach \$的每个单位同态-algebrato$\backslash \mathrm{mathrm}{\mathrm{B}} \mathcal{K} \ 是收缩的。

## 数学代写|希尔伯特空间代写HILBERT SPACE代考|SPECTRAL MEASURES

• 对于任何 $\Delta_1, \Delta_2 \in \mathfrak{M}$ 我们有 $E\left(\Delta_1 \cap \Delta_2\right)=E\left(\Delta_1\right) E\left(\Delta_2\right)$,
最后一个条件中的和被认为是强拓扑中有限和的极限。请注意，根据前两个条件，对应于不相交集的投影是正交的，因此它们的和是一个投影。
谱测度的基本例子来自自伴随算子: 让 $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ 自伴，放 $\Omega=\sigma(x)$ 然后让 $\mathfrak{M}$ 成为 $\sigma$-Borel 子集的代数 $\sigma(x)$. 定义
$E_x: \mathfrak{M} \ni \Delta \longmapsto \chi_{\Delta}(x) \in \operatorname{Proj}(\mathrm{B}(\mathcal{H}))$

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。