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# 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT7604 Rayleigh–Ritz and Galerkin principles

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## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Rayleigh–Ritz and Galerkin principles

The Rayleigh-Ritz principle relies on converting the boundary value problem (14.1), (14.2) into a variational problem involving the minimisation of a certain quadratic functional over a function space.
Let us define the quadratic functional $\mathcal{J}: \mathrm{H}{\mathrm{E}}^1(a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ by $$\mathcal{J}(w)=\frac{1}{2} \int_a^b\left[p(x)\left(w^{\prime}\right)^2+r(x) w^2\right] \mathrm{d} x-\int_a^b f(x) w(x) \mathrm{d} x$$ where $w \in \mathrm{H}{\mathrm{E}}^1(a, b)$, and consider the following variational problem:
(RR) find $u \in \mathrm{H}{\mathrm{E}}^1(a, b)$ such that $\mathcal{J}(u)=\min {w \in \mathrm{H}_{\mathrm{E}}^1(a, b)} \mathcal{J}(w)$,
which we shall henceforth refer to as the Rayleigh-Ritz principle.
For the sake of notational simplicity we define
$$\mathcal{A}(w, v)=\int_a^b\left[p(x) w^{\prime}(x) v^{\prime}(x)+r(x) w(x) v(x)\right] \mathrm{d} x$$
and recall from Chapter 9 the definition of inner product on $\mathrm{L}^2(a, b)$ :
$$\langle w, v\rangle=\int_a^b w(x) v(x) \mathrm{d} x$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Formulation of the finite element method

In the previous section we showed that the weak solution to the boundary value problem (14.1), (14.2) minimises $\mathcal{J}(\cdot)$ over $\mathrm{H}_{\mathrm{E}}^1(a, b)$. The finite element method is based on constructing an approximate solution $u^h$ to the problem by minimising $\mathcal{J}(\cdot)$ over a finite-dimensional subset $S_{\mathrm{E}}^h$ of $\mathrm{H}_{\mathrm{E}}^1(a, b)$, instead.

A simple way of constructing $S_{\mathrm{E}}^h$ is to choose any function $\psi \in \mathrm{H}{\mathrm{E}}^1(a, b)$, for example, $$\psi(x)=\frac{B-A}{b-a}(x-a)+A$$ and a finite set of linearly independent functions $\varphi_j, j=1, \ldots, n-1$, in $\mathrm{H}_0^1(a, b)$ for $n \geq 2$, and then define $$\begin{array}{r} S{\mathrm{E}}^h=\left{v^h \in \mathrm{H}{\mathrm{E}}^1(a, b): v^h(x)=\psi(x)+\sum{i=1}^{n-1} v_i \varphi_i(x),\right. \ \text { where } \left.\left(v_1, \ldots, v_{n-1}\right)^{\mathrm{T}} \in \mathbb{R}^{n-1}\right} . \end{array}$$
We consider the following approximation of problem (RR):
$(\mathrm{RR})^h \quad$ find $u^h \in S_{\mathrm{E}}^h$ such that $\mathcal{J}\left(u^h\right)=\min {w^h \in S{\mathrm{E}}^h} \mathcal{J}\left(w^h\right)$.
Our next result is a finite-dimensional analogue of Theorem 14.1.

## 数学代写|数值分析代写NUMERICAL ANALYSIS代考|RAYLEIGH-RITZ AND GALERKIN PRINCIPLES

Rayleigh-Ritz 原理依赖于转换边值问题14.1, 14.2变成一个变分问题，涉及在函数空间上最小化某个二次泛函。

$$\mathcal{J}(w)=\frac{1}{2} \int_a^b\left[p(x)\left(w^{\prime}\right)^2+r(x) w^2\right] \mathrm{d} x-\int_a^b f(x) w(x) \mathrm{d} x$$

$R R$ 寻找 $u \in \mathrm{HE}^1(a, b)$ 这样 $\mathcal{J}(u)=\min w \in \mathrm{H}_{\mathrm{E}}^1(a, b) \mathcal{J}(w)$ ，

$$\mathcal{A}(w, v)=\int_a^b\left[p(x) w^{\prime}(x) v^{\prime}(x)+r(x) w(x) v(x)\right] \mathrm{d} x$$

$$\langle w, v\rangle=\int_a^b w(x) v(x) \mathrm{d} x$$

## 数学代写|数值分析代写NUMERICAL ANALYSIS代考|FORMULATION OF THE FINITE ELEMENT METHOD

$$\psi(x)=\frac{B-A}{b-a}(x-a)+A$$

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。