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有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算，再加上其相对容易实现，使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天，FDM与有限元方法一样，是数值解决PDE的最常用方法之一。
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数学代写|有限元方法作业代写finite differences method代考|WORKED EXAMPLES
Example 4.I: A uniform bar subjected to an axial force
Consider a bar of uniform cross-sectional area, shown in Figure 4.3. The bar is fixed at one end and is subjected to a horizontal load of $P$ at the free end. The dimensions of the bar are shown in the figure, and the beam is made of an isotropic material with Young’s modulus $E$.
Exact solution
We first derive the exact solution, as this problem is very simple. From the strong form of governing equation (2.43), we have
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0
$$
Note that, for the current example problem, the bar is free of body forces and hence $f_x=0$. The general form of solution for Eq. (4.38) can be obtained very easily as
$$
u(x)=c_0+c_1 x
$$
where $c_0$ and $c_1$ are unknown constants to be determined by boundary conditions. The displacement boundary condition for this problem can be given as
$$
u=0, \quad \text { at } x=0
$$
数学代写|有限元方法作业代写finite differences method代考|FEM solution
Using one element, the bar is modelled as shown in Figure 4.4. Using Eq. (4.15), the stiffness matrix of the bars is given by
$$
\mathbf{K}=\mathbf{k}_e=\frac{A E}{l}\left[\begin{array}{cc}
1 & -1 \
-1 & 1
\end{array}\right]
$$
There is no need to perform coordinate transformation, as the local and global coordinate systems are the same. There is also no need to perform assembly, because there is only one element. The finite element equation becomes
$$
\frac{A E}{l}\left[\begin{array}{cc}
1 & -1 \
-1 & 1
\end{array}\right]\left{\begin{array}{l}
u_1 \
u_2
\end{array}\right}=\left{\begin{array}{c}
F_1=? \
F_2=P
\end{array}\right}
$$
where $F_1$ is the reaction force applied at node 1 , which is unknown at this stage. Instead, what we know is the displacement boundary condition Eq. (4.40) at node1. We can then simply remove the first equation in Eq. (4.49), i.e.
$$
\frac{A E}{l}\left[\begin{array}{cc}
1 & -1 \
-1 & 1
\end{array}\right]\left{\begin{array}{l}
u_1 \
u_2
\end{array}\right}=\left{\begin{array}{c}
F_1=? \
F_2=P
\end{array}\right}
$$
which leads to
$$
u_2=\frac{P l}{A E}
$$
有限元方法代写
数学代写|有限元方法作业代写FINITE DIFFERENCES METHOD 代考|WORKED EXAMPLES
示例 4.1：承受轴向力的均质杆
考虑一个横截面面积均一的杆，如图 $4.3$ 所示。杆一端固定，承受水平载荷 $P$ 在自由端。杆的尺寸如图所示，梁由具有杨氏模量的各向同性材料制成 $E$. 精确解
我们首先导出精确解，因为这个问题非常简单。从控制方程的强形式 $2.43$ ，我们有
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0
$$
请注意，对于当前的示例问题，杆没有体积力，因此 $f_x=0$. 方程式的一般解法形式。 $4.38$ 可以很容易地获得
$$
u(x)=c_0+c_1 x
$$
在哪里 $c_0$ 和 $c_1$ 是由边界条件确定的末知常数。该问题的位移边界条件可表示为
$$
u=0, \quad \text { at } x=0
$$
数学代写|有限元方法作业代写FINITE DIFFERENCES METHOD 代考|FEM SOLUTION
使用一个元嗉，如图 $4.4$ 所示对条进行建模。使用方程式。 $4.15$, 杆的刚度矩阵由下式给出
不需要进行坐标变换，因为局部坐标系和全局坐标系是一样的。也不需要进行组装，因为只有一个元羢。有限元方程变为
在哪里 $F_1$ 是施加在节点 1 的反作用力，在这个阶段是末知的。相反，我们所知道的是位移边界条件方程。 $4.40$ 在节点 1 。然后我们可以简单地删除方程式中的第一 个方程式。 $4.49 ， \mathrm{IE}$
这导致
$$
u_2=\frac{P l}{A E}
$$
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