Robot Rossie moves within a square room $A B C D$. Rossie moves along straight line segments, never leaving that room.
When Rossie encounters a wall she stops, makes a right-angle turn (with direction chosen to face into the room), and continues in that new direction.
If Rossie comes to one of the room’s corners, she rotates through two right angles, and moves back along her previous path.
Suppose Rossie starts at point $P$ on $A B$ and her path begins as a line segment of slope $s$.
We hope to describe Rossie’s path.
For some values of $P$ and $s$, Rossie’s path will be a tilted rectangle with one vertex on each wall of the room. (Often, this inscribed rectangle is itself a square.) In this case, Rossie repeatedly traces that stable rectangle.
(a) Suppose $s=1$ so that the path begins at a 45 degree angle.
For every starting point $P$, show: Rossie’s path is a stable rectangle.
(If $P$ is a corner point, the path degenerates to a line segment traced back and forth.)
Now draw some examples with various $P$ and $s$.
Given $P$ and $s$, does Rossie’s path always converge to a stable rectangle?
Here are some steps that might help you answer this question:
(b) First consider the case: $01$ or when $s<0$ ? Does the argument above still apply?
Let $\mathbb{Z}$ denote the set of integers. If $m$ is a positive integer, we write $\mathbb{Z}m$ for the system of “integers modulo $m$.” Some authors write $\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ for that system. For completeness, we include some definitions here. The system $\mathbb{Z}_m$ can be represented as the set ${0,1, \ldots, m-1}$ with operations $\oplus$ (addition) and $\odot$ (multiplication) defined as follows. If $a, b$ are elements of ${0,1, \ldots, m-1}$, define: $a \oplus b=$ the element $c$ of ${0,1, \ldots, m-1}$ such that $a+b-c$ is an integer multiple of $m$. $a \odot b=$ the element $d$ of ${0,1, \ldots, m-1}$ such that $a b-d$ is an integer multiple of $m$. For example, $3 \oplus 4=2$ in $\mathbb{Z}_5$, $3 \odot 3=1$ in $\mathbb{Z}_4$, and $-1=12$ in $\mathbb{Z}{13}$.
To simplify notations (at the expense of possible confusion), we abandon that new notation and write $a+b$ and $a b$ for the operations in $\mathbb{Z}_m$, rather than writing $a \oplus b$ and $a \odot b$.
Let $\mathbb{Q}$ denote the system of rational numbers.
We write $4 \mathbb{Z}$ for the set of multiples of 4 in $\mathbb{Z}$. Similarly for $4 \mathbb{Z}{12}$. Consider the following number systems: $$ \mathbb{Z}, \quad \mathbb{Q}, \quad 4 \mathbb{Z}, \quad \mathbb{Z}_3, \quad \mathbb{Z}_8, \quad \mathbb{Z}_9, \quad 4 \mathbb{Z}{12}, \quad \mathbb{Z}_{13} .
$$
One system may be viewed as similar to another in several different ways. We will measure similarity using only algebraic properties.
(a) Consider the following sample properties:
(i) If $a^2=1$, then $a=\pm 1$.
(ii) If $2 x=0$, then $x=0$.
(iii) If $c^2=0$, then $c=0$.
Which of the systems above have properties (i), (ii), and/or (iii)?
(b) Formulate another algebraic property and determine which of those systems have that property. [Note: Cardinality is not considered to be an algebraic property.]
Write down some additional algebraic properties and investigate them.
(c) In your opinion, which of the listed systems are “most similar” to each another?
Please spend extra effort to write up this problem’s solution as an exposition that can be read and understood by a beginning algebra student. That student knows function notation and standard properties of polynomials (as taught in a high school algebra course). Your solution will be graded not only on the correctness of the math but also on the clarity of exposition.
(a) Find all polynomials $f$ that satisfy the equation:
$$
f(x+2)=f(x)+2 \text { for every real number } x .
$$
(b) Find all polynomials $g$ that satisfy the equation:
$$
g(2 x)=2 g(x) \text { for every real number } x .
$$
(c) The problems above are of the following type: Given functions $H$ and $J$, find all polynomials $Q$ that satisfy the equation:
$$
J(Q(x))=Q(H(x)) \text { for every } x \text { in } S
$$
where $S$ is a subset of real numbers. In parts (a) and (b), we have $J=H$ and $S$ is all real numbers, but other scenarios are also interesting. For example, the choice $J(x)=1 /(x-1)$ and $H(x)=1 /(x+1)$, generates the question:
Find all polynomials $Q$ that satisfy the equation:
$$
\frac{1}{Q(x)-1}=Q\left(\frac{1}{x+1}\right)
$$
for every real number $x$ such that those denominators are nonzero.
Is this one straightforward to solve?
(d) Make your own choice for $J$ and $H$, formulate the problem, and find a solution. Choose $J$ and $H$ to be non-trivial, but still simple enough to allow you to make good progress toward a solution.
机器人Rossie在一个正方形房间$A B C D$内移动。罗西沿着直线段移动，从不离开这个房间。
当Rossie遇到一堵墙时，她会停下来，做一个直角转弯（方向选择为面向房间），然后继续沿着这个新方向前进。
如果Rossie走到房间的一个角落，她会旋转两个直角，然后沿着之前的路径移动回去。
假设Rossie从$A B$上的$P$点开始，她的路径是一条斜率为$s$的线段。
我们希望描述一下Rossie的路径。
对于$P$和$s$的某些值，Rossie的路径将是一个倾斜的矩形，在房间的每一面墙上都有一个顶点。 (通常，这个内嵌的矩形本身就是一个正方形。)在这种情况下，Rossie重复地追踪这个稳定的矩形。
(a) 假设$s=1$，使路径以45度角开始。
对于每一个起点$P$，表明。罗西的路径是一个稳定的矩形。
(如果$P$是一个角点，该路径就退化为一条来回追踪的线段)。
现在画一些有不同$P$和$s$的例子。
考虑到$P$和$s$，罗西的路径是否总是收敛到一个稳定的矩形？
下面是一些步骤，可能有助于你回答这个问题。
(b) 首先考虑以下情况：$01$或$s<0$时，Rossie的行为是什么？上面的论证是否仍然适用？
让$mathbb{Q}$表示有理数系统。
我们用$4\mathbb{Z}$表示$mathbb{Z}$中4的倍数的集合。类似地，4美元\mathbb{Z}{12}$。 请考虑以下数系。 $$ `mathbb{Z}, quadmathbb{Q}, quad 4mathbb{Z}, quadmathbb{Z}_3, quadmathbb{Z}_8, quadmathbb{Z}_9, quad 4mathbb{Z}{12}, quadmathbb{Z}_{13}.
$$
一个系统可以通过几种不同的方式被视为与另一个系统相似。我们将只用代数性质来衡量相似性。
(a) 考虑以下的样本属性。
(i) 如果$a^2=1$，那么$a=\pm 1$。
(ii) 如果$2 x=0$，那么$x=0$。
(iii) 如果$c^2=0$，则$c=0$。
上述系统中哪一个具有(i)、(ii)和/或(iii)的特性？
(b) 提出另一个代数性质，并确定这些系统中哪些具有该性质。[注意：Cardinality不被认为是一个代数属性。］
写下一些额外的代数性质，并对它们进行研究。
(c) 在你看来，所列的系统中哪些是 “最相似 “的？
请花更多的精力把这个问题的解决方案写成一个初学代数的学生可以阅读和理解的论述。该学生知道函数符号和标准的多项式性质（如高中代数课程中所教授的）。你的答案不仅要看数学的正确性，还要看论述的清晰性。
(a) 找到所有满足方程的多项式$f$。
$$
f(x+2)=f(x)+2\text {对于每一个实数}x 。
$$
(b) 找出所有满足方程的多项式$g$。
$$
g(2 x)=2 g(x)\text { 对于每个实数 } x .
$$
(c) 上面的问题属于以下类型: 给出函数$H$和$J$, 找出所有满足方程的多项式$Q$:
$$
J(Q(x))=Q(H(x)) \J(Q(x))=Q(H(x))。S
$$
其中$S$是实数的一个子集。在(a)和(b)部分，我们有$J=H$，$S$为所有实数，但其他情况也很有趣。例如, 选择$J(x)=1 /(x-1)$和$H(x)=1 /(x+1)$, 产生了问题:
找到所有满足方程的多项式$Q$。
$$
\frac{1}{Q(x)-1}=Q\left(\frac{1}{x+1}\right)
$$
对于每个实数$x$来说，这些分母都是非零的。
这个问题是否可以直接解决？
(d) 自己选择$J$和$H$，提出问题，并找到解决方案。选择$J$和$H$是不难的，但仍然简单到足以让你在解决问题上取得良好进展。
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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
