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# 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH0021 Nakayama’s Lemma

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## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Nakayama’s Lemma

Recall (definition 2.1.5) that the Jacobson radical $\mathrm{J}$ of a ring A is the intersection of all maximal left ideals of $\mathrm{A}$; it is a two-sided ideal of $\mathrm{A}$ and $1+a$ is invertible for every element $a \in \mathrm{J}$ (lemma 2.1.6).

Theorem (6.1.1) (Nakayama’s lemma). — Let A be a ring and let J be its Jacobson radical. Let $\mathrm{M}$ be a finitely generated $\mathrm{A}-m o d u l e$ such that $\mathrm{M}=\mathrm{MJ}$. Then $\mathrm{M}=0$.
Proof. – We prove the theorem by induction on the number of elements of a generating set of $M$.
If $M$ is generated by 0 elements, then $M=0$.
Let then $n \geq 1$ and assume that the theorem holds for any A-module which is generated by $(n-1)$ elements. Let $\mathrm{M}$ be an $\mathrm{A}$-module which is generated by $n$ elements, say $e_1, \ldots, e_n$, and such that $\mathrm{M}=\mathrm{MJ}$. Let $\mathrm{N}=\mathrm{M} / e_1 \mathrm{~A}$. Then, $\mathrm{N}$ is generated by the classes of $e_2, \ldots, e_n$ and one has $\mathrm{N}=\mathrm{NJ}$. Consequently, $\mathrm{N}=0$. In other words, $\mathrm{M}=e_1 \mathrm{~A}$.

Since $\mathrm{M}=\mathrm{MJ}$, there is an $a \in \mathrm{J}$ such that $e_1=e_1 a$, hence $e_1(1-a)=0$. Since $a \in \mathrm{J}, 1-a$ is right invertible in $\mathrm{A}$ and $e_1=0$. This implies that $\mathrm{M}=0 . \square$

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Length

Definition (6.2.1). – Let A be a ring. One says that an A-module is simple if it is non-zero and if its only submodules are 0 and itself.
Examples (6.2.2). –
a) The module 0 is not simple.
b) Let $\mathrm{A}$ be a ring and let $\mathrm{I}$ be a right ideal of $\mathrm{A}$. The bijection $\mathrm{V} \mapsto \mathrm{cl}_{\mathrm{I}}^{-1}(\mathrm{~V})$ between $\mathrm{A}$-submodules of $\mathrm{A}_d / \mathrm{I}$ and submodules of $\mathrm{A}_d$ containing I preserves the containment relation. Consequently, the A-module $\mathrm{A}_d / \mathrm{I}$ is simple if and only if $\mathrm{I} \neq \mathrm{A}$ and the only right ideals of A which contain I are I and A. In other words, $\mathrm{A}_d / \mathrm{I}$ is a simple right A-module if and only if $\mathrm{I}$ is a maximal right ideal of $\mathrm{A}$.
c) Let $\mathrm{M}$ be a simple A-module and let $m$ be a non-zero element of $\mathrm{M}$. The set $m \mathrm{~A}$ of all multiples of $\mathrm{M}$ is a non-zero submodule of $\mathrm{M}$. Since $\mathrm{M}$ is simple, one has $m \mathrm{~A}=\mathrm{M}$.

The set I of all $a \in \mathrm{A}$ such that $m a=0$ is a right ideal of $\mathrm{A}$ and the map $a \mapsto m a$ induces an isomorphism from $\mathrm{A}_d / \mathrm{I}$ to M. Consequently, I is a maximal right ideal of $\mathrm{A}$.
d) Assume that $\mathrm{A}$ is a division ring. Then, a simple A-module is nothing but a 1-dimensional A-vector space.
e) Let A be a ring and let I be a two-sided ideal of A. In the identification between A-modules annihilated by I and (A/I)-modules, A-submodules correspond to (A/I)-submodules. Consequently, an A-module which is annihilated by I is a simple A-module if and only if it is simple as an (A/I)-module.

## 数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代 考|LENGTH

a) 模块 0 不简单。
b) 让 $\mathrm{A}$ 是一个戒指，让成为一个正确的理想 $\mathrm{A}$. 双射 $\mathrm{V} \mapsto \mathrm{cl}_{\mathrm{I}}^{-1}(\mathrm{~V})$ 之间 $\mathrm{A}$-子模块 $\mathrm{A}_d / \mathrm{I}$ 和子模块 $\mathrm{A}_d$ 包含 保留包含关系。因此， $A$ 模
c) 让 $\mathrm{M}$ 是一个简单的 $\mathrm{A}$ 模块，让 $m$ 是的非零元素 $\mathrm{M}$. 套装 $m \mathrm{~A}$ 的所有倍数 $\mathrm{M}$ 是的非零子模块 $\mathrm{M}$. 自从M很简单，一个有 $m \mathrm{~A}=\mathrm{M}$.

d) 假设 $\mathrm{A}$ 是一个分割环。那么，一个简单的 $\mathrm{A}$ 模只是一维 $\mathrm{A}$ 向量空间。
e) 设 $\mathrm{A}$ 为环， । 为 $\mathrm{A}$ 的双面理想。在被।和 $A / I$-modules， $\mathrm{A}$-子模块对应 $A / I$-子模块。因此，一个被 1 湮的的 $\mathrm{A}$ 模块是一个简单的 $\mathrm{A}$ 模 块当且仅当它简单如 $A / I$-模块。

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。