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# 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MAT12004 Projective Modules

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## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Projective Modules

exact sequence
$$0 \rightarrow \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{P} \rightarrow 0$$
is split.
Proposition (7.3.2). – Let $\mathrm{A}$ be a ring and let $\mathrm{P}$ be an A-module. The following properties are equivalent:
(i) The module $\mathrm{P}$ is projective;
(ii) The module $\mathrm{P}$ is isomorphic to a direct summand of a free A-module;
(iii) For all A-modules $\mathrm{M}$ and $\mathrm{N}$, any surjective morphism $p: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ and any morphism $f: \mathrm{P} \rightarrow \mathrm{N}$, there exists a morphism $g: \mathrm{P} \rightarrow \mathrm{M}$ such that $f=p \circ g$;
(iv) For every A-module $\mathrm{M}$, every surjective morphism $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{P}$ has a right inverse.

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Injective Modules

Definition (7.4.1). – Let A be a ring. One says that an A-module $M$ is injective if every short exact sequence
$$0 \rightarrow \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{P} \rightarrow 0$$
is split.
The notion of an injective module is kind of dual of that of a projective module. However, the category of modules is quite different from its opposite category. As is pointed out by (MATSUMURA, 1986, p. 277), there does not exist a notion that would be the dual to that of a free module. Consequently, proposition 7.3.2 has no analogue for injective modules and the existence of injective modules is not obvious. We start with a partial counterpart to proposition 7.3.2.

## 数学代写|数值分析代写NUMERICAL ANALYSIS代 考|PROJECTIVE MODULES

$$0 \rightarrow \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{P} \rightarrow 0$$

$i$ 模组 $\mathrm{P}$ 是投射的;
$i i$ i模组 $\mathrm{P}$ 同构于自由 $\mathrm{A}$ 模的直接加数;
$i v$ 对于每个 $\mathrm{A}$ 模块 $\mathrm{M}$,每个满身态射 $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{P}$ 有一个右逆。

## 数学代写|数值分析代写NUMERICAL ANALYSIS代 考|INJECTIVE MODULES

$$0 \rightarrow \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{P} \rightarrow 0$$

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。